Use os testes da razão ou da raiz para determinar se a série converge ou diverge, ou justifique porque os testes são falhos:
sumn=1^infty (-2)^nn^2

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série sumn=1^infty (-2)^nn^2. Aqui o conteúdo é testes de convergência de séries numéricas, em especial o teste da razão (ou da raiz).

Passo 2

No teste da razão, a gente analisa o limite
L = limntoinfty |an+1an|
onde an = (-2)^nn^2. Calculando:
|an+1an| = |(-2)^n+1/(n+1)^2(-2)^n/n^2| = 2cdotn^2(n+1)^2
Então
L = limntoinfty 2n^2(n+1)^2 = 2
Como L>1, o teste da razão conclui que a série diverge.

Passo 3

Podemos concluir, portanto, que a série não converge (ela diverge).

Resposta

A série diverge.

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