Use os testes da razão ou da raiz para determinar se a série converge ou diverge, ou justifique porque os testes são falhos.
sumn=1^infty (-1)^n n^33^n

Passo 1

Olha só, a gente tem uma série infinita pra analisar e descobrir se ela converge (ou seja, soma a um valor específico) ou diverge (não soma a nada definido). A série que a gente vai olhar é:
sumn=1^infty (-1)^n n^33^n
Vamos usar Testes da Razão ou Teste da Raiz para resolver isso. Esses testes ajudam a gente a entender o comportamento da série quando fica bem grande.

Passo 2

Primeiro, vamos usar o Teste da Razão. Esse teste é bem útil quando temos termos com potências ou fatoriais. A ideia é calcular o limite da razão entre o termo da posição L = limn to infty | an+1an | e o termo da posição an+1an = (-1)^n+1 (n+1)^3 / 3^n+1(-1)^n n^3 / 3^n = (-1)^n+1 (n+1)^3 cdot 3^n(-1)^n n^3 cdot 3^n+1 .
A fórmula do Teste da Razão é:
an+1an = (-1)^n+1(-1)^n cdot (n+1)^3n^3 cdot 3^n3^n+1 = (-1) cdot (1 + 1n)^3 cdot 13
Onde:
  • | an+1an | = | (-1) cdot (1 + 1n)^3 cdot 13 | = (1 + 1n)^3 cdot 13
Vamos calcular essa razão:
Simplificando os termos:
L = limn to infty (1 + 1n)^3 cdot 13 = (1 + 0)^3 cdot 13 = 1 cdot 13 = 13
Agora, tiramos o valor absoluto para usar no teste:
Vamos calcular o limite quando tende ao infinito:

Passo 3

Agora, interpretamos o resultado do Teste da Razão:
  • Se , a série converge absolutamente.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, . Isso significa que a série converge absolutamente, ou seja, a série sem o fator alternado também converge.

Resposta

A série converge absolutamente pelo Teste da Razão.

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