Use the Intermediate Value Theorem to show that there is a root of the given equation in the specified interval.
x^{4}+x-3=0, (1,2)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação
x^{4} + x - 3 = 0
tem pelo menos uma raiz no intervalo (1,2) usando o Teorema do Valor Intermediário. Precisamos lembrar que, se f é contínua em [a,b] e f(a) e f(b) têm sinais opostos, então existe c\in(a,b) tal que f\text{(c)}=0.

Passo 2

Definimos f(x)=x^{4}+x-3. Como soma, produto e potências de funções polinomiais são contínuas, f é contínua em todo \mathbb{R}, portanto também em [1,2].

Passo 3

Calculamos os valores de f nas extremidades do intervalo:
f(1)=1^{4}+1-3=-1,
f(2)=2^{4}+2-3=16+2-3=15.

Passo 4

Observamos que
f(1)=-1<0 \quad\text{e}\quad f(2)=15>0.
Como f é contínua em [1,2] e muda de sinal entre x=1 e x=2, o Teorema do Valor Intermediário garante a existência de c\in(1,2) tal que
f\text{(c)}=0.

Resposta

Existe pelo menos uma raiz de x^{4}+x-3=0 no intervalo (1,2).

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