Which of the following functions f has a removable discontinuity at a ? If the discontinuity is removable, find a function g that agrees with f for x \neq a and is continuous at a.
f(x)=\frac{x^{3}-x^{2}-2 x}{x-2}, \quad a=2

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\frac{x^{3}-x^{2}-2x}{x-2}
e pede para estudar a descontinuidade em a=2. O objetivo é verificar se
\lim_{x\to2}f(x) existe e é finito (condição para descontinuidade removível) e, em caso positivo, definir uma extensão g que coincida com f em x\neq2 e seja contínua em 2. Para isso vamos usar fatoração de polinômios e cálculo de limite.

Passo 2

Fatoramos o numerador:
x^{3}-x^{2}-2x = x\,(x^{2}-x-2)=x\,(x-2)\,(x+1).
Para x\neq2, podemos simplificar:
f(x)=\frac{x\,(x-2)\,(x+1)}{x-2}=x\,(x+1).

Passo 3

Como para x\neq2 vale f(x)=x(x+1), o limite em 2 é
\lim_{x\to2}f(x)=\lim_{x\to2}x(x+1)=2\cdot3=6.
Esse limite existe e é finito, logo a descontinuidade em x=2 é removível.

Passo 4

Definimos a extensão contínua g\) por \[g(x)= \begin{cases} \displaystyle\frac{x^{3}-x^{2}-2x}{x-2},&x\neq2,\\[6pt] 6,&x=2. \end{cases}
Alternativamente, como para todo x\neq2\] temos \(g(x)=x(x+1), podemos estender essa expressão a x=2 atribuindo g(2)=6.]

Resposta

A descontinuidade em a=2 é removível. Uma extensão contínua é
g(x)= \begin{cases} \frac{x^{3}-x^{2}-2x}{x-2},&x\neq2,\\\\ 6,&x=2. \end{cases}

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