Use the Intermediate Value Theorem to show that there is a root of the given equation in the specified interval.
x^{4}+x-3=0, (1,2)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que existe uma raiz de x^4 + x - 3 = 0 no intervalo (1,2) usando o Teorema do Valor Intermediário. Como f(x)=x^4 + x - 3 é um polinômio, ela é contínua em todo \mathbb{R}, em particular em [1,2].

Passo 2

Calculamos o valor de f em x=1:
f(1) = 1^4 + 1 - 3 = -1.
Logo, f(1) = -1 < 0.

Passo 3

Calculamos o valor de f em x=2:
f(2) = 2^4 + 2 - 3 = 16 + 2 - 3 = 15.
Logo, f(2) = 15 > 0.

Passo 4

Como f é contínua em [1,2] e há mudança de sinal entre os extremos f(1)<0 e f(2)>0, o Teorema do Valor Intermediário garante que existe c\in(1,2) tal que
f\text{(c)} = 0.

Resposta

Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz da equação x^4 + x - 3 = 0 no intervalo (1,2).

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