The gravitational force exerted by the earth on a unit mass at a distance r\) from the center of the planet is \[F(r)= \begin{cases}\frac{G M r}{R^{3}} & \text { if } r<R \\\ \frac{G M}{r^{2}} & \text { if } r \geqslant R\end{cases}
where M\] is the mass of the earth, \(R is its radius, and G is the gravitational constant. Is F a continuous function of r ?

Passo 1

O enunciado define a força gravitacional por unidade de massa como
F(r)= \begin{cases} \displaystyle \frac{G\,M\,r}{R^{3}}, & r<R,\\[1em] \displaystyle \frac{G\,M}{r^{2}}, & r\ge R, \end{cases}
e pergunta se F é contínua em r. O conteúdo é continuidade de função definida por partes.]

Passo 2

Recordamos que uma função é contínua em todo ponto interior de um intervalo onde a fórmula é única, desde que essa fórmula seja contínua. As expressões
\frac{G\,M\,r}{R^{3}}\quad\text{e}\quad\frac{G\,M}{r^{2}}
são compostas por polinômios e potências não nulas, logo contínuas em (-\infty,R) e em (R,+\infty), respectivamente.

Passo 3

Falta verificar continuidade em r=R. Para isso, calculamos os limites laterais e o valor da função em r=R.

Passo 4

Limite pela esquerda:
\lim_{r\to R^-}F(r) =\lim_{r\to R^-}\frac{G\,M\,r}{R^{3}} =\frac{G\,M\,R}{R^{3}} =\frac{G\,M}{R^{2}}.
Limite pela direita (e valor em R):
\lim_{r\to R^+}F(r) =F(R) =\frac{G\,M}{R^{2}}.

Passo 5

Como
\lim_{r\to R^-}F(r) =\lim_{r\to R^+}F(r) =F(R),
a função não tem quebra em r=R. Juntando com a continuidade nos demais intervalos, concluímos que F é contínua para todo r.

Resposta

Sim. A função F(r) é contínua para todo r.

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