Use the Intermediate Value Theorem to show that there is a root of the given equation in the specified interval.
\sqrt[3]{x}-1-x, (0,1)

Passo 1

Vamos definir a função
f(x)=\sqrt[3]{x}-1-x
que é justamente o lado esquerdo da equação f(x)=0. Note que \sqrt[3]{x} e x são contínuas em [0,1], logo f é contínua em [0,1].

Passo 2

Avaliamo-la nos extremos do intervalo:
f(0)=\sqrt[3]{0}-1-0=-1
f(1)=\sqrt[3]{1}-1-1=1-1-1=-1
Portanto
f(0)\;=\;-1,\quad f(1)\;=\;-1

Passo 3

Para aplicar o Teorema do Valor Intermediário em [0,1] precisamos de um sinal oposto em f(0) e f(1), isto é, f(0)\,f(1)<0. Aqui, porém,
f(0)\,f(1)=(-1)\cdot(-1)=1>0,
ou seja, f(0) e f(1) têm o mesmo sinal. Logo o Teorema do Valor Intermediário não garante raiz em (0,1).

Passo 4

De fato, examinando o comportamento de f (por exemplo analisando f'(x) ou avaliando valores intermediários), verifica‐se que f(x)<0 para todo x\in[0,1]. Assim não existe solução de
\sqrt[3]{x}-1-x=0
no intervalo (0,1).

Resposta

A condição f(0)\cdot f(1)<0 falha e, de fato, a equação não possui raízes em (0,1).

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