Use the Intermediate Value Theorem to show that there is a root of the given equation in the specified interval.
\sqrt[3]{x}-1-x, (0,1)

Passo 1

Vamos definir a função
f(x)=\sqrt[3]{x}-1-x
O enunciado pede para usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) em (0,1) e mostrar que existe c\in(0,1) tal que f\text{(c)}=0. Para isso precisamos verificar o sinal de f nos extremos do intervalo e a continuidade de f.

Passo 2

Verificamos a continuidade de f em [0,1]. A função x\mapsto\sqrt[3]{x} é contínua em \mathbb{R} e x\mapsto -1-x também é contínua, logo sua soma
f(x)=\sqrt[3]{x}-1-x
é contínua em todo \mathbb{R}, em particular em [0,1].

Passo 3

Calculamos f nos pontos extremos:
f(0)=\sqrt[3]{0}-1-0=-1,
f(1)=\sqrt[3]{1}-1-1=1-1-1=-1.

Passo 4

Como f(0)=-1 e f(1)=-1, ambos de mesmo sinal, não há mudança de sinal entre x=0 e x=1. Portanto o Teorema do Valor Intermediário não garante existência de raiz em (0,1). De fato, examinando f(x) em [0,1] nota-se que
f(x)<0\quad\forall\,x\in[0,1],
ou seja, não existe c\in(0,1) com f\text{(c)}=0.

Resposta

Não existe raiz de \sqrt[3]{x}-1-x=0 em (0,1), pois f(0) e f(1) são ambos negativos e f é contínua em [0,1].

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