Use the Intermediate Value Theorem to show that there is a root of the given equation in the specified interval.
\cos x-x, \quad(0,1)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação \cos x - x = 0 tem pelo menos uma solução em (0,1). Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que exige que a função seja contínua em [0,1].

Passo 2

Defina f(x)=\cos x - x. Sabemos que \cos x e x são contínuas em \mathbb{R}, logo f é contínua em [0,1]. Calculamos:
f(0)=\cos 0 - 0 = 1 > 0,
f(1)=\cos 1 - 1 < 1 - 1 = 0.
Como f(0)\cdot f(1)<0, o Teorema do Valor Intermediário garante a existência de c\in(0,1) com f\text{(c)}=0.

Resposta

Existe c\in(0,1) tal que \cos c - c = 0.

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