Use the method of cylindrical shells to find the volume generated by rotating the region bounded by the given curves about the specified axis. y=e^{x}, y=e^{-x}, x=1; about the y-axis
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar em torno do eixo y a região do plano limitada pelas curvas y=e^{x}, y=e^{-x} e pela reta vertical x=1.
Informações importantes dadas pelo enunciado:
As curvas são y=e^{x} e y=e^{-x}.
A reta vertical é x=1.
O eixo de rotação é o eixo y.
A região é a parte do plano delimitada por essas três curvas (nota: as duas exponenciais se cruzam em x=0, pois e^{0}=1, então a região fica entre x=0 e x=1, com y variando entre e^{-x} e e^{x}).
Passo 2
Escolhemos o método exigido: cilindros (método das cascas cilíndricas). Vou explicar a ideia: imagine uma fatia vertical da região, paralela ao eixo y, localizada em abscissa x. Ao girar essa fatia em torno do eixo y ela gera uma casca cilíndrica de raio igual à distância da fatia ao eixo y e altura igual à diferença entre as curvas superior e inferior naquele x. A fórmula para o volume por cascas é
V = 2\pi \int_{a}^{b} (\text{raio})\cdot(\text{altura})\,dx,
onde a e b são os limites em x.
Vou detalhar o que cada termo significa no nosso caso:
\text{raio} é a distância do eixo y à fatia vertical em x, isto é \text{raio}=x (porque a distância do ponto (x,y) ao eixo y é |x|, e aqui x\ge0).
\text{altura} é a diferença entre a curva superior e a inferior em função de x, isto é \text{altura}=e^{x}-e^{-x}.
Os limites em x são de x=0 (ponto de interseção das exponenciais) até x=1 (a reta dada).
Passo 3
Montamos a integral de volume usando a fórmula da casca:
V = 2\pi \int_{0}^{1} x\bigl(e^{x}-e^{-x}\bigr)\,dx.
Aqui cada elemento 2\pi x\bigl(e^{x}-e^{-x}\bigr)\,dx representa o volume aproximado de uma casca de espessura dx.
Passo 4
Para calcular a integral, separamos em duas integrais mais simples:
\int_{0}^{1} x\bigl(e^{x}-e^{-x}\bigr)\,dx = \int_{0}^{1} x e^{x}\,dx \;-\; \int_{0}^{1} x e^{-x}\,dx.
Vou calcular cada uma usando integração por partes. Lembrete rápido da integração por partes: se tivermos \int u\,dv, então
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde escolhemos u e dv de forma conveniente.
Passo 5
Calculemos a primeira integral
I_{1}=\int_{0}^{1} x e^{x}\,dx.
Escolhemos u=x (portanto du=dx) e dv=e^{x}dx (portanto v=e^{x}). Aplicando integração por partes:
Portanto a integral interna vale \dfrac{2}{e}. Lembrando que o volume é V=2\pi vezes essa integral, teremos o valor final do volume na seção de resposta.