Use the method of cylindrical shells to find the volume generated by rotating the region bounded by the given curves about the specified axis.
y=e^{x}, y=e^{-x}, x=1; about the y-axis

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar em torno do eixo y a região do plano limitada pelas curvas y=e^{x}, y=e^{-x} e pela reta vertical x=1.
Informações importantes dadas pelo enunciado:
  • As curvas são y=e^{x} e y=e^{-x}.
  • A reta vertical é x=1.
  • O eixo de rotação é o eixo y.
  • A região é a parte do plano delimitada por essas três curvas (nota: as duas exponenciais se cruzam em x=0, pois e^{0}=1, então a região fica entre x=0 e x=1, com y variando entre e^{-x} e e^{x}).

Passo 2

Escolhemos o método exigido: cilindros (método das cascas cilíndricas). Vou explicar a ideia: imagine uma fatia vertical da região, paralela ao eixo y, localizada em abscissa x. Ao girar essa fatia em torno do eixo y ela gera uma casca cilíndrica de raio igual à distância da fatia ao eixo y e altura igual à diferença entre as curvas superior e inferior naquele x. A fórmula para o volume por cascas é
V = 2\pi \int_{a}^{b} (\text{raio})\cdot(\text{altura})\,dx,
onde a e b são os limites em x.
Vou detalhar o que cada termo significa no nosso caso:
  • \text{raio} é a distância do eixo y à fatia vertical em x, isto é \text{raio}=x (porque a distância do ponto (x,y) ao eixo y é |x|, e aqui x\ge0).
  • \text{altura} é a diferença entre a curva superior e a inferior em função de x, isto é \text{altura}=e^{x}-e^{-x}.
  • Os limites em x são de x=0 (ponto de interseção das exponenciais) até x=1 (a reta dada).

Passo 3

Montamos a integral de volume usando a fórmula da casca:
V = 2\pi \int_{0}^{1} x\bigl(e^{x}-e^{-x}\bigr)\,dx.
Aqui cada elemento 2\pi x\bigl(e^{x}-e^{-x}\bigr)\,dx representa o volume aproximado de uma casca de espessura dx.

Passo 4

Para calcular a integral, separamos em duas integrais mais simples:
\int_{0}^{1} x\bigl(e^{x}-e^{-x}\bigr)\,dx = \int_{0}^{1} x e^{x}\,dx \;-\; \int_{0}^{1} x e^{-x}\,dx.
Vou calcular cada uma usando integração por partes. Lembrete rápido da integração por partes: se tivermos \int u\,dv, então
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde escolhemos u e dv de forma conveniente.

Passo 5

Calculemos a primeira integral
I_{1}=\int_{0}^{1} x e^{x}\,dx.
Escolhemos u=x (portanto du=dx) e dv=e^{x}dx (portanto v=e^{x}). Aplicando integração por partes:
I_{1}= \bigl.x e^{x}\bigr|_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x}\,dx.
Agora avaliamos: \bigl.x e^{x}\bigr|_{0}^{1}=1\cdot e^{1}-0\cdot e^{0}=e. E \int_{0}^{1} e^{x}\,dx = e^{x}\big|_{0}^{1} = e-1. Assim
I_{1}= e - (e-1) = 1.

Passo 6

Agora a segunda integral
I_{2}=\int_{0}^{1} x e^{-x}\,dx.
Escolhemos u=x ( du=dx) e dv=e^{-x}dx ( v=-e^{-x}). Aplicando integração por partes:
I_{2} = \bigl.-x e^{-x}\bigr|_{0}^{1} - \int_{0}^{1} (-e^{-x})\,dx = -x e^{-x}\Big|_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{-x}\,dx.
Calculamos as partes: -x e^{-x}\Big|_{0}^{1} = -1\cdot e^{-1} - 0 = -e^{-1}. E \int_{0}^{1} e^{-x}\,dx = \bigl.-e^{-x}\bigr|_{0}^{1} = -e^{-1} + 1. Somando,
I_{2} = -e^{-1} + (-e^{-1}+1) = 1 - \frac{2}{e}.
(Obs.: outra forma curta é lembrar que uma primitiva de x e^{-x} é -(x+1)e^{-x}.)

Passo 7

Substituindo I_{1} e I_{2} na diferença:
\int_{0}^{1} x\bigl(e^{x}-e^{-x}\bigr)\,dx = I_{1}-I_{2} = 1 - \Bigl(1 - \frac{2}{e}\Bigr) = \frac{2}{e}.
Portanto a integral interna vale \dfrac{2}{e}. Lembrando que o volume é V=2\pi vezes essa integral, teremos o valor final do volume na seção de resposta.

Resposta

\dfrac{4\pi}{e}

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