Use a transformação
para calcular
onde
é a região compreendida pelas curvas
.
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conteúdo da Matéria
Estamos resolvendo uma integral dupla definida por
na região $ R $ delimitada pelas curvas $ xy = \pi $, $ xy = 2\pi $, $ xy^4 = 1 $ e $ xy^4 = 2 $. Vamos utilizar a transformação das variáveis $ u = xy $ e $ v = xy^4 $ para facilitar o cálculo da integral. Para isso, precisaremos entender como mudar as variáveis na integral dupla e calcular o determinante jacobiano da transformação.
Passo 2
Definindo as Transformações e Expressando $ x $ e $ y $ em termos de $ u $ e $ v $
Dadas as transformações:
Queremos expressar $ x $ e $ y $ em termos de $ u $ e $ v $. Para isso, dividimos a segunda equação pela primeira:
Agora, substituímos $ y $ na primeira equação para encontrar $ x $:
Portanto,
Passo 3
Calculando o Determinante Jacobiano $ J $
O determinante jacobiano $ J $ da transformação é dado por:
Primeiro, calculamos as derivadas parciais necessárias:
Agora, o determinante jacobiano é:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Portanto,
Passo 4
Mudando a Região de Integração e Expressando a Integral em Termos de $ u $ e $ v $
A região $ R $ é delimitada por:
Com a transformação e o jacobiano calculados, a integral $ I $ se torna:
Substituindo $ |J| $:
Passo 5
Calculando a Integral
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a $ u $:
Agora, substituímos na integral externa:
Calculando a integral:
Portanto:
Resposta
A integral vale