Use a transformação u=x y, v=x y^4 para calcular
I=integral dupla sen(x y) d A
onde R é a região compreendida pelas curvas x y=pi, x y=2 pi, x y^4=1, x y^4=2.

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conteúdo da Matéria
Estamos resolvendo uma integral dupla definida por
I = integral dupla sen(x y) , dA
na região $ R $ delimitada pelas curvas $ xy = \pi $, $ xy = 2\pi $, $ xy^4 = 1 $ e $ xy^4 = 2 $. Vamos utilizar a transformação das variáveis $ u = xy $ e $ v = xy^4 $ para facilitar o cálculo da integral. Para isso, precisaremos entender como mudar as variáveis na integral dupla e calcular o determinante jacobiano da transformação.

Passo 2

Definindo as Transformações e Expressando $ x $ e $ y $ em termos de $ u $ e $ v $
Dadas as transformações:
x
Queremos expressar $ x $ e $ y $ em termos de $ u $ e $ v $. Para isso, dividimos a segunda equação pela primeira:
y
Agora, substituímos $ y $ na primeira equação para encontrar $ x $:
u
Portanto,
v

Passo 3

Calculando o Determinante Jacobiano $ J $
O determinante jacobiano $ J $ da transformação é dado por:
J
Primeiro, calculamos as derivadas parciais necessárias:
J
J = | partial (x, y)partial (u, v) |
Agora, o determinante jacobiano é:
partial xpartial u = 43 u^1/3 v^-1/3, partial xpartial v = -13 u^4/3 v^-4/3
Calculando o determinante:
partial ypartial u = -13 v^1/3 u^-4/3, partial ypartial v = 13 u^-1/3 v^-2/3
Simplificando:
J = | cc 43 u^1/3 v^-1/3 & -13 u^4/3 v^-4/3 -13 v^1/3 u^-4/3 & 13 u^-1/3 v^-2/3 |
Portanto,
J = ( 43 u^1/3 v^-1/3 cdot 13 u^-1/3 v^-2/3 ) - ( -13 u^4/3 v^-4/3 cdot -13 v^1/3 u^-4/3 )

Passo 4

Mudando a Região de Integração e Expressando a Integral em Termos de $ u $ e $ v $
A região $ R $ é delimitada por:
u
Com a transformação e o jacobiano calculados, a integral $ I $ se torna:
v
Substituindo $ |J| $:
R

Passo 5

Calculando a Integral
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a $ u $:
u
Agora, substituímos na integral externa:
integralpi^2pi sen(u) , du = -cos(u) |pi^2pi = -cos(2pi) + cos(pi) = -1 + (-1) = -2
Calculando a integral:
I = integral1^2 ( -23 v ) , dv = -23 integral1^2 1v , dv
Portanto:
integral1^2 1v , dv = ln(v) |1^2 = ln(2) - ln(1) = ln(2)

Resposta

A integral vale
I = -23 ln(2)

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