Se W(f, g)=x cos x-sen x, e se u=f+3 g e v=f-g, obtenha o Wronskiano W(u, v).

Passo 1

O enunciado dá o Wronskiano de duas funções f e g como W(f,g)=xcos x - sin x, e define as combinações u=f+3g e v=f-g. Precisamos encontrar W(u,v). O tópico aqui é Wronskiano e propriedades de combinações lineares.

Passo 2

Por definição, o Wronskiano de u e v é dado por
W(u,v)=u,v' - u',v

Passo 3

Quando u e v são combinações lineares de f e g, existe uma matriz A tal que
uv=Afg,
e vale a propriedade
W(u,v)=det(A),W(f,g)

Passo 4

As combinações são
u=1cdot f+3cdot g, v=1cdot f+(-1)cdot g,
logo a matriz de coeficientes é
A=1 & 13 & -1

Passo 5

O determinante de A é
det(A)=1cdot(-1)-1cdot3=-1-3=-4
Aplicando a propriedade, obtemos
W(u,v)=det(A),W(f,g)=-4l(xcos x-sin xr)

Resposta

W(u,v)=4sin x-4xcos x

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