Use a Transformacla de Laplace Para resolver o Problema de Valor Inicial (PVI):
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=4 e^{-4}, \quad y(0)=2, y^{\prime}(0)=1;

Passo 1

O enunciado fornece o problema de valor inicial com as seguintes informações (assumo que a variável independente é t e que a expressão no lado direito é função de t):
  • Equação diferencial ordinária:
y''(t)+2\,y'(t)+y(t)=4\,e^{-4t}.
  • Condições iniciais:
y(0)=2,\qquad y'(0)=1.
O que se pede: encontrar a solução y(t) que satisfaça a equação e as condições iniciais.

Passo 2

Rápida aula sobre a Transformada de Laplace e as propriedades que vamos usar (sem pressa, passo a passo):
  • Definição. A transformada de Laplace de uma função f(t) (para t\ge0) é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt.
Isso transforma uma função do tempo f(t) numa função de s. A ideia prática é transformar a EDO em uma equação algébrica em s.
  • Linearidade. \mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=aF(s)+bG(s) para constantes a,b.
  • Transformada de derivadas (essencial para PVI). Se Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s), então, assumindo que y e suas derivadas têm transformadas:
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}(s)=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Explicação curta do porquê: obtém-se integrando por partes a definição de \mathcal{L}\{y'\} e \mathcal{L}\{y''\}; os termos com y(0) e y'(0) aparecem a partir dos limites quando se integra por partes.
  • Transformada de exponencial. Para a constante,
\mathcal{L}\{e^{at}\}(s)=\frac{1}{s-a},
valendo para \Re(s)>\Re(a). No nosso caso a=-4, então
\mathcal{L}\{e^{-4t}\}(s)=\frac{1}{s+4}.
Com essas fórmulas podemos transformar a EDO em uma equação algébrica em Y(s).

Passo 3

Aplicar \mathcal{L}\{\cdot\} em ambos os lados da equação
\mathcal{L}\{y''(t)\}+2\mathcal{L}\{y'(t)\}+\mathcal{L}\{y(t)\}=4\mathcal{L}\{e^{-4t}\}.
Substituindo as fórmulas das derivadas e da exponencial e usando as condições iniciais y(0)=2, y'(0)=1:
\bigl(s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\bigr)+2\bigl(sY(s)-y(0)\bigr)+Y(s)=4\cdot\frac{1}{s+4}.
Agora substituo y(0)=2 e y'(0)=1:
s^{2}Y(s)-2s-1+2sY(s)-4+Y(s)=\frac{4}{s+4}.
Junto os termos em Y(s) e os termos constantes:
(s^{2}+2s+1)Y(s)-2s-5=\frac{4}{s+4}.
Observando que s^{2}+2s+1=(s+1)^{2}, isolamos Y(s):
(s+1)^{2}Y(s)=2s+5+\frac{4}{s+4}.
Logo
Y(s)=\frac{2s+5}{(s+1)^{2}}+\frac{4}{(s+4)(s+1)^{2}}.

Passo 4

Precisamos inverter Y(s) para obter y(t). Primeiro simplificamos a primeira fração e decompondo a segunda por frações parciais.
Para a primeira fração:
\frac{2s+5}{(s+1)^{2}}=\frac{2(s+1)+3}{(s+1)^{2}}=\frac{2}{s+1}+\frac{3}{(s+1)^{2}}.
Para a segunda fração fazemos decomposição parcial do tipo
\frac{4}{(s+4)(s+1)^{2}}=\frac{A}{s+4}+\frac{B}{s+1}+\frac{C}{(s+1)^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por (s+4)(s+1)^{2} obtemos
4=A(s+1)^{2}+B(s+4)(s+1)+C(s+4).
Determinamos A,B,C escolhendo valores convenientes de s:
  • Para s=-1:
4 = C\cdot 3 \quad\Rightarrow\quad C=\frac{4}{3}.
  • Para s=-4:
4 = A(-3)^{2}=9A \quad\Rightarrow\quad A=\frac{4}{9}.
  • Para encontrar B substituímos, por exemplo, s=0:
4 = A\cdot 1 + B\cdot 4\cdot 1 + C\cdot 4.
Substituindo A=\tfrac{4}{9} e C=\tfrac{4}{3}:
4 = \frac{4}{9}+4B+\frac{16}{3}.
Passando termos:
4B = 4-\frac{4}{9}-\frac{16}{3}= \frac{36-4-48}{9}=\frac{-16}{9},
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B=-\frac{4}{9}.
Portanto
\frac{4}{(s+4)(s+1)^{2}}=\frac{4/9}{s+4}-\frac{4/9}{s+1}+\frac{4/3}{(s+1)^{2}}.
Agora juntamos tudo:
Y(s)=\left(\frac{2}{s+1}+\frac{3}{(s+1)^{2}}\right)+\left(\frac{4/9}{s+4}-\frac{4/9}{s+1}+\frac{4/3}{(s+1)^{2}}\right).
Agrupando termos semelhantes:
  • Coeficiente de \dfrac{1}{s+1}: \dfrac{2}{1}-\dfrac{4}{9}=\dfrac{18-4}{9}=\dfrac{14}{9}.
  • Coeficiente de \dfrac{1}{(s+1)^{2}}: 3+\dfrac{4}{3}=\dfrac{9+4}{3}=\dfrac{13}{3}.
  • Coeficiente de \dfrac{1}{s+4}: \dfrac{4}{9}.
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Y(s)=\frac{14}{9}\cdot\frac{1}{s+1}+\frac{13}{3}\cdot\frac{1}{(s+1)^{2}}+\frac{4}{9}\cdot\frac{1}{s+4}.

Passo 5

Invertendo cada termo usando as transformadas conhecidas:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+a}\right\}=e^{-a t},\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+a)^{2}}\right\}=t\,e^{-a t}.
Aplicando termo a termo:
y(t)=\frac{14}{9}e^{-t}+\frac{13}{3}\,t\,e^{-t}+\frac{4}{9}e^{-4t}.
Se quiser arrumar um pouco:
y(t)=\left(\frac{14}{9}+\frac{13}{3}t\right)e^{-t}+\frac{4}{9}e^{-4t}.
Verificação rápida das condições iniciais (checagem útil em prova):
  • y(0)=\frac{14}{9}+0+\frac{4}{9}= \frac{18}{9}=2 OK.
  • y'(t)=-\frac{14}{9}e^{-t}+\frac{13}{3}e^{-t}-\frac{13}{3}t e^{-t}-\frac{16}{9}e^{-4t}, então y'(0)=-\frac{14}{9}+\frac{13}{3}-\frac{16}{9}=\frac{-14+39-16}{9}=\frac{9}{9}=1 OK.

Resposta

y(t)=\frac{14}{9}e^{-t}+\frac{13}{3}\,t\,e^{-t}+\frac{4}{9}e^{-4t}.

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