Use a Transformacla de Laplace Para resolver o Problema de Valor Inicial (PVI):
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=4 e^{-4}, \quad y(0)=2, y^{\prime}(0)=1;
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=4 e^{-4}, \quad y(0)=2, y^{\prime}(0)=1;
Passo 1
O enunciado fornece o problema de valor inicial com as seguintes informações (assumo que a variável independente é
e que a expressão no lado direito é função de
):
- Equação diferencial ordinária:
- Condições iniciais:
O que se pede: encontrar a solução
que satisfaça a equação e as condições iniciais.
Passo 2
Rápida aula sobre a Transformada de Laplace e as propriedades que vamos usar (sem pressa, passo a passo):
- Definição. A transformada de Laplace de uma função
(para ) é
Isso transforma uma função do tempo
numa função de
. A ideia prática é transformar a EDO em uma equação algébrica em
.
-
Linearidade.
para constantes . -
Transformada de derivadas (essencial para PVI). Se
, então, assumindo que e suas derivadas têm transformadas:
Explicação curta do porquê: obtém-se integrando por partes a definição de
e
; os termos com
e
aparecem a partir dos limites quando se integra por partes.
- Transformada de exponencial. Para
constante,
valendo para
. No nosso caso
, então
Com essas fórmulas podemos transformar a EDO em uma equação algébrica em
.
Passo 3
Aplicar
em ambos os lados da equação
Substituindo as fórmulas das derivadas e da exponencial e usando as condições iniciais
,
:
Agora substituo
e
:
Junto os termos em
e os termos constantes:
Observando que
, isolamos
:
Logo
Passo 4
Precisamos inverter
para obter
. Primeiro simplificamos a primeira fração e decompondo a segunda por frações parciais.
Para a primeira fração:
Para a segunda fração fazemos decomposição parcial do tipo
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Determinamos
escolhendo valores convenientes de
:
- Para
:
- Para
:
- Para encontrar
substituímos, por exemplo, :
Substituindo
e
:
Passando termos:
logo
Portanto
Agora juntamos tudo:
Agrupando termos semelhantes:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: .
Logo
Passo 5
Invertendo cada termo usando as transformadas conhecidas:
Aplicando termo a termo:
Se quiser arrumar um pouco:
Verificação rápida das condições iniciais (checagem útil em prova):
-
OK. -
, então OK.