Use a Transformacla de Laplace Para resolver o Problema de Valor Inicial (PVI):
y^{\prime \prime}+y-\operatorname{sen}(2 t)=0, \quad y(0)=2, y^{\prime}(0)=1;
y^{\prime \prime}+y-\operatorname{sen}(2 t)=0, \quad y(0)=2, y^{\prime}(0)=1;
Passo 1
O enunciado dá um problema de valor inicial (PVI) com:
- Equação diferencial:
- Condições iniciais:
O que se pede: encontrar a solução
que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais, usando a Transformada de Laplace.
Passo 2
Vou revisar rapidamente as fórmulas da Transformada de Laplace que vou usar (é importante entender o que cada símbolo significa):
- Definição: para uma função
(para ),
Aqui
é a variável da transformada e
é uma função de
.
-
Linearidade:
. -
Transformadas de derivadas (essenciais para PVI):
onde
.
- Transformadas de funções trigonométricas úteis:
- Inversa (lembrete):
e .
Essas fórmulas nos permitem transformar a EDO em uma equação algébrica em
, resolver para
e depois aplicar a transformada inversa para obter
.
Passo 3
Aplico a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação
.
Usando linearidade e as fórmulas de derivadas:
Substituindo as expressões:
Agora substituo as condições iniciais
e
:
Agrupo os termos em
:
Isolo
:
Portanto
Passo 4
Vou inverter a Transformada termo a termo. Primeiro termo:
Aplicando a inversa:
Logo o primeiro termo contribui com
.
Passo 5
Agora trato o segundo termo
Faço frações parciais do tipo
Multiplicando ambos os lados por
:
Igualando coeficientes:
Da primeira equação
. Substituindo na segunda:
Então
.
Portanto
Passo 6
Aplico a transformada inversa em cada parcela encontrada:
-
porque . -
porque .
Como o segundo termo tem sinal negativo no segundo fragmento, a contribuição total é
Passo 7
Somando as contribuições do Passo 4 e do Passo 6 obtemos a solução
:
Combine os termos em
:
Passo 8
Verificação rápida das condições iniciais (para ter confiança no resultado):
- Em
: . Então
confere com
.
- Derivo
:
Em
:
, logo
confere com
. Portanto a solução satisfaz as condições iniciais.