Use a Transformacla de Laplace Para resolver o Problema de Valor Inicial (PVI):
y^{\prime \prime}+y-\operatorname{sen}(2 t)=0, \quad y(0)=2, y^{\prime}(0)=1;

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial (PVI) com:
  • Equação diferencial: y'' + y - \operatorname{sen}(2t) = 0.
  • Condições iniciais: y(0)=2,\qquad y'(0)=1.
O que se pede: encontrar a solução y(t) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais, usando a Transformada de Laplace.

Passo 2

Vou revisar rapidamente as fórmulas da Transformada de Laplace que vou usar (é importante entender o que cada símbolo significa):
  • Definição: para uma função f(t) (para t\ge0),
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt.
Aqui s é a variável da transformada e \mathcal{L}\{f\}(s) é uma função de s.
  • Linearidade: \mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=a\mathcal{L}\{f\}+b\mathcal{L}\{g\}.
  • Transformadas de derivadas (essenciais para PVI):
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}(s)=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
onde Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s).
  • Transformadas de funções trigonométricas úteis:
\mathcal{L}\{\sin(a t)\}(s)=\frac{a}{s^{2}+a^{2}},\qquad \mathcal{L}\{\cos(a t)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}.
  • Inversa (lembrete): \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s}{s^{2}+a^{2}}\right\}=\cos(at) e \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}+a^{2}}\right\}=\frac{1}{a}\sin(at).
Essas fórmulas nos permitem transformar a EDO em uma equação algébrica em Y(s), resolver para Y(s) e depois aplicar a transformada inversa para obter y(t).

Passo 3

Aplico a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação \,y''+y=\operatorname{sen}(2t)\,.
Usando linearidade e as fórmulas de derivadas:
\mathcal{L}\{y''\}+ \mathcal{L}\{y\} = \mathcal{L}\{\sin(2t)\}.
Substituindo as expressões:
\big(s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\big) + Y(s) = \frac{2}{s^{2}+4}.
Agora substituo as condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=1:
\big(s^{2}Y(s)-2s-1\big) + Y(s) = \frac{2}{s^{2}+4}.
Agrupo os termos em Y(s):
(s^{2}+1)Y(s) -2s -1 = \frac{2}{s^{2}+4}.
Isolo Y(s):
(s^{2}+1)Y(s) = 2s+1 + \frac{2}{s^{2}+4}.
Portanto
Y(s)=\frac{2s+1}{s^{2}+1} + \frac{2}{(s^{2}+1)(s^{2}+4)}.

Passo 4

Vou inverter a Transformada termo a termo. Primeiro termo:
\frac{2s+1}{s^{2}+1}=\frac{2s}{s^{2}+1} + \frac{1}{s^{2}+1}.
Aplicando a inversa:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{2s}{s^{2}+1}\right\}=2\cos t, \qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}+1}\right\}=\sin t.
Logo o primeiro termo contribui com 2\cos t + \sin t.

Passo 5

Agora trato o segundo termo
\frac{2}{(s^{2}+1)(s^{2}+4)}.
Faço frações parciais do tipo
\frac{2}{(s^{2}+1)(s^{2}+4)}=\frac{A}{s^{2}+1}+\frac{B}{s^{2}+4}.
Multiplicando ambos os lados por (s^{2}+1)(s^{2}+4):
2 = A(s^{2}+4)+B(s^{2}+1)=(A+B)s^{2}+(4A+B).
Igualando coeficientes:
A+B=0,\qquad 4A+B=2.
Da primeira equação B=-A. Substituindo na segunda:
4A+(-A)=2 \implies 3A=2 \implies A=\frac{2}{3}.
Então B=-\frac{2}{3}.
Portanto
\frac{2}{(s^{2}+1)(s^{2}+4)}=\frac{2/3}{s^{2}+1}-\frac{2/3}{s^{2}+4}.

Passo 6

Aplico a transformada inversa em cada parcela encontrada:
  • \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{2/3}{s^{2}+1}\right\}=\frac{2}{3}\sin t porque \mathcal{L}^{-1}\{1/(s^{2}+1)\}=\sin t.
  • \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{2/3}{s^{2}+4}\right\}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\sin(2t)=\frac{1}{3}\sin(2t) porque \mathcal{L}^{-1}\{1/(s^{2}+4)\}=\tfrac{1}{2}\sin(2t).
Como o segundo termo tem sinal negativo no segundo fragmento, a contribuição total é
\frac{2}{3}\sin t - \frac{1}{3}\sin(2t).

Passo 7

Somando as contribuições do Passo 4 e do Passo 6 obtemos a solução y(t):
y(t)=\big(2\cos t + \sin t\big) + \left(\frac{2}{3}\sin t - \frac{1}{3}\sin(2t)\right).
Combine os termos em \sin t:
y(t)=2\cos t + \left(1+\frac{2}{3}\right)\sin t - \frac{1}{3}\sin(2t) =2\cos t + \frac{5}{3}\sin t - \frac{1}{3}\sin(2t).

Passo 8

Verificação rápida das condições iniciais (para ter confiança no resultado):
  • Em t=0: \sin 0=0,\\ \cos 0=1,\\ \sin 2\cdot0=0. Então
y(0)=2\cdot1+ \frac{5}{3}\cdot0 - \frac{1}{3}\cdot0 = 2,
confere com y(0)=2.
  • Derivo y(t):
y'(t)=-2\sin t + \frac{5}{3}\cos t - \frac{1}{3}\cdot 2\cos(2t) = -2\sin t + \frac{5}{3}\cos t - \frac{2}{3}\cos(2t).
Em t=0: \sin 0=0,\\ \cos 0=1,\\ \cos 0=1, logo
y'(0)=0 + \frac{5}{3} - \frac{2}{3} = \frac{3}{3}=1,
confere com y'(0)=1. Portanto a solução satisfaz as condições iniciais.

Resposta

y(t)=2\cos t+\frac{5}{3}\sin t-\frac{1}{3}\sin(2t)

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