Use a Transformacla de Laplace Para resolver o Problema de Valor Inicial (PVI):
y^{\prime \prime}=y^{\prime}+2 y, y(0)=1 y^{\prime}(0)=0 ;

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Equação diferencial ordinária com condições iniciais:
y'' = y' + 2y,
y(0)=1,\qquad y'(0)=0.
  • O que é pedido: encontrar a solução y(t) que satisfaça a equação diferencial e as condições iniciais usando a Transformada de Laplace.

Passo 2

Noções básicas e fórmulas que vamos usar (aulas rápidas, no estilo “cola de prova”):
  • Definição da transformada de Laplace de uma função f(t):
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt.
Aqui s é a variável da transformada e f(t) é a função no tempo.
  • Notação: vamos chamar Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s).
  • Propriedades importantes (derivadas) que permitem transformar a EDO em uma equação algébrica em s:
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}(s)=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Essas fórmulas aparecem ao integrar por partes e são essenciais: transformam derivadas em polinômios em s multiplicando Y(s) e geram termos conhecidos com as condições iniciais.
  • Transformada inversa padrão que usaremos:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-a}\right\}(t)=e^{at}.

Passo 3

Aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial:
Primeiro, calcular a transformada do lado esquerdo \mathcal{L}\{y''\} usando as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0:
\mathcal{L}\{y''\}(s)=s^{2}Y(s)-s\cdot y(0)-y'(0)=s^{2}Y(s)-s\cdot 1-0=s^{2}Y(s)-s.
Agora a transformada do lado direito \mathcal{L}\{y'\}+2\mathcal{L}\{y\}:
\mathcal{L}\{y'\}(s)=sY(s)-y(0)=sY(s)-1,
2\mathcal{L}\{y\}(s)=2Y(s).
Portanto a equação transformada fica:
s^{2}Y(s)-s = \bigl(sY(s)-1\bigr)+2Y(s).

Passo 4

Resolver a equação algébrica em Y(s). Reunindo termos:
s^{2}Y(s)-s = sY(s)-1+2Y(s).
Passar todos os termos que contêm Y(s) para o mesmo lado e os termos conhecidos para o outro:
s^{2}Y(s)-sY(s)-2Y(s)=s-1.
Fatorando Y(s):
\bigl(s^{2}-s-2\bigr)Y(s)=s-1.
Observar que o polinômio do lado esquerdo fatoriza:
s^{2}-s-2=(s-2)(s+1).
Assim
Y(s)=\frac{s-1}{(s-2)(s+1)}.

Passo 5

Fazer frações parciais para inverter a transformada. Escrever
\frac{s-1}{(s-2)(s+1)}=\frac{A}{s-2}+\frac{B}{s+1}.
Multiplicando por (s-2)(s+1) obtemos:
s-1 = A(s+1)+B(s-2).
Determinar A e B usando valores convenientes de s:
  • Tomando s=2:
2-1=1 = A(3) \quad\Rightarrow\quad A=\tfrac{1}{3}.
  • Tomando s=-1:
-1-1=-2 = B(-3) \quad\Rightarrow\quad B=\tfrac{2}{3}.
Portanto
Y(s)=\frac{1/3}{s-2}+\frac{2/3}{s+1}.

Passo 6

Aplicar a transformada inversa termo a termo usando \mathcal{L}^{-1}\{1/(s-a)\}=e^{at}:
y(t)=\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}(t)=\frac{1}{3}\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-2}\right\}(t)+\frac{2}{3}\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+1}\right\}(t).
Lembrando que \mathcal{L}^{-1}\{1/(s-2)\}=e^{2t} e \mathcal{L}^{-1}\{1/(s+1)\}=e^{-t}, obtemos
y(t)=\frac{1}{3}e^{2t}+\frac{2}{3}e^{-t}.

Passo 7

Verificação rápida (confiança): checar as condições iniciais
y(0)=\tfrac{1}{3}+\tfrac{2}{3}=1,
y'(t)=\tfrac{2}{3}e^{2t}-\tfrac{2}{3}e^{-t}\quad\Rightarrow\quad y'(0)=\tfrac{2}{3}-\tfrac{2}{3}=0,
ok — condições satisfeitas.
Dica de prova: a transformada de Laplace dá um procedimento mecânico (transformar, resolver algebraicamente, frações parciais, inverter). Em prova, faça com calma os passos e confira sinais ao aplicar as fórmulas das derivadas.

Resposta

y(t)=\dfrac{1}{3}e^{2t}+\dfrac{2}{3}e^{-t}

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