Use a Transformacla de Laplace Para resolver o Problema de Valor Inicial (PVI):
y^{\prime \prime}=y^{\prime}+2 y, y(0)=1 y^{\prime}(0)=0 ;
y^{\prime \prime}=y^{\prime}+2 y, y(0)=1 y^{\prime}(0)=0 ;
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Equação diferencial ordinária com condições iniciais:
- O que é pedido: encontrar a solução
que satisfaça a equação diferencial e as condições iniciais usando a Transformada de Laplace.
Passo 2
Noções básicas e fórmulas que vamos usar (aulas rápidas, no estilo “cola de prova”):
- Definição da transformada de Laplace de uma função
:
Aqui
é a variável da transformada e
é a função no tempo.
-
Notação: vamos chamar
. -
Propriedades importantes (derivadas) que permitem transformar a EDO em uma equação algébrica em
:
Essas fórmulas aparecem ao integrar por partes e são essenciais: transformam derivadas em polinômios em
multiplicando
e geram termos conhecidos com as condições iniciais.
- Transformada inversa padrão que usaremos:
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial:
Primeiro, calcular a transformada do lado esquerdo
usando as condições iniciais
e
:
Agora a transformada do lado direito
:
Portanto a equação transformada fica:
Passo 4
Resolver a equação algébrica em
. Reunindo termos:
Passar todos os termos que contêm
para o mesmo lado e os termos conhecidos para o outro:
Fatorando
:
Observar que o polinômio do lado esquerdo fatoriza:
Assim
Passo 5
Fazer frações parciais para inverter a transformada. Escrever
Multiplicando por
obtemos:
Determinar
e
usando valores convenientes de
:
- Tomando
:
- Tomando
:
Portanto
Passo 6
Aplicar a transformada inversa termo a termo usando
:
Lembrando que
e
, obtemos
Passo 7
Verificação rápida (confiança): checar as condições iniciais
ok — condições satisfeitas.
Dica de prova: a transformada de Laplace dá um procedimento mecânico (transformar, resolver algebraicamente, frações parciais, inverter). Em prova, faça com calma os passos e confira sinais ao aplicar as fórmulas das derivadas.