Use a Transformacla de Laplace Para resolver o Problema de Valor Inicial (PVI):
y^{\prime}-y=1, \quad y(0)=0;

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y'(t)-y(t)=1,\qquad y(0)=0.
O que se pede é encontrar a função y(t) que satisfaz essa equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Vou usar a Transformada de Laplace para transformar a equação diferencial em uma equação algébrica no domínio de s. Primeiro, lembre-se da definição e de duas propriedades essenciais:
  • Definição da transformada de Laplace de uma função f(t):
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt.
  • Transformada da derivada primeira (propriedade muito útil para PVI):
\mathcal{L}\{f'(t)\}(s)=sF(s)-f(0),
onde F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s).
Também será usada a transformada de uma constante:
\mathcal{L}\{1\}(s)=\frac{1}{s}.

Passo 3

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação \,y'(t)-y(t)=1, obtemos
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)-\mathcal{L}\{y(t)\}(s)=\mathcal{L}\{1\}(s).
Denotando Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s) e usando a propriedade da derivada e a condição inicial y(0)=0, temos
\bigl(sY(s)-y(0)\bigr)-Y(s)=\frac{1}{s}.
Como y(0)=0, isso simplifica para
sY(s)-Y(s)=\frac{1}{s}.

Passo 4

Fatorando Y(s) do lado esquerdo:
Y(s)\bigl(s-1\bigr)=\frac{1}{s}.
Isolando Y(s),
Y(s)=\frac{1}{s(s-1)}.

Passo 5

Agora vamos decompor Y(s)\) em frações parciais para inverter a transformada. Procuro constantes \(A\) e \(B\) tais que \[\frac{1}{s(s-1)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s-1}.
Multiplicando ambos os lados por s(s-1) obtemos
1=A(s-1)+Bs=(A+B)s-A.
Comparando coeficientes do polinômio em s, obtemos o sistema
\begin{cases} A+B=0,\\\\ - A=1. \end{cases}
Da segunda equação A=-1\]. Então \(B=1. Assim
Y(s)=-\frac{1}{s}+\frac{1}{s-1}.

Passo 6

Aplicando a transformada inversa termo a termo: lembrando que \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s}\}=1 e \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s-a}\}=e^{at}, temos
y(t)=\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}(t)=-\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s}\right\}(t)+\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s-1}\right\}(t)=-1+e^{t}.
Verificação rápida (para dar confiança): y'(t)=e^{t}, então y'(t)-y(t)=e^{t}-(e^{t}-1)=1, e y(0)=-1+1=0. Está tudo consistente.

Resposta

y(t)=e^{t}-1

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