1 Considere o seguinte PVI:
\left\{\begin{array}{c} y^{\prime}(x)=y-x^{2}+1 \\\ y(0)=0,5 \end{array}\right.
a. Aplique o método de Euler simples para aproximar y(1) \operatorname{com} h=0,2.
i x_{i} y_{i} f\left(x_{i}, y_{i}\right)
0 0,0 0,5
1 0,2
2 0,4
3 0,6
4 0,8
5 1,0
y(1) \cong

Passo 1

O enunciado pede uma aproximação para y(1) do PVI
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}(x)=y-x^{2}+1,\\[4pt] y(0)=0,5 \end{array}\right.
usando o método de Euler simples com passo h=0,2.
Os pontos em x serão \,x_0=0,0,\;x_1=0,2,\;x_2=0,4,\;x_3=0,6,\;x_4=0,8,\;x_5=1,0\,.
Queremos calcular sucessivamente y_1,y_2,\dots,y_5 e, portanto, obter y(1)\approx y_5.]

Passo 2

O método de Euler simples (também chamado de Euler explícito) parte da ideia da aproximação linear de uma função pela derivada no ponto atual. Pela expansão de Taylor de ordem 1,
y(x+h)\approx y(x)+h\,y'(x).
Como y'(x)=f(x,y)=y-x^{2}+1, a fórmula iterativa do método é
y_{i+1}=y_i + h\,f(x_i,y_i).
Aqui:
  • y_i é a aproximação de y(x_i);
  • x_{i+1}=x_i+h;
  • f(x_i,y_i)=y_i-x_i^{2}+1 (é a função do lado direito da ODE avaliada no ponto (x_i,y_i));
  • h é o passo (aqui h=0,2).
Intuitivamente: a cada passo usa-se a inclinação atual f(x_i,y_i) para avançar uma distância h na vertical.

Passo 3

Começamos com x_0=0,0 e y_0=0,5.
Calcular f(x_0,y_0):
f(x_0,y_0)=y_0-x_0^{2}+1=0,5-0^{2}+1=1,5.
Aplicar Euler:
y_1 = y_0 + h\,f(x_0,y_0)=0,5 + 0,2\cdot 1,5 = 0,5 + 0,3 = 0,8.
Portanto (x_1,y_1)=(0,2,\,0,8).

Passo 4

Agora x_1=0,2 e y_1=0,8.
Calcular f(x_1,y_1):
f(x_1,y_1)=y_1-x_1^{2}+1=0,8-(0,2)^{2}+1=0,8-0,04+1=1,76.
Aplicar Euler:
y_2 = y_1 + h\,f(x_1,y_1)=0,8 + 0,2\cdot 1,76 = 0,8 + 0,352 = 1,152.
Portanto (x_2,y_2)=(0,4,\,1,152).

Passo 5

Agora x_2=0,4 e y_2=1,152.
Calcular f(x_2,y_2):
f(x_2,y_2)=y_2-x_2^{2}+1=1,152-(0,4)^{2}+1=1,152-0,16+1=1,992.
Aplicar Euler:
y_3 = y_2 + h\,f(x_2,y_2)=1,152 + 0,2\cdot 1,992 = 1,152 + 0,3984 = 1,5504.
Portanto (x_3,y_3)=(0,6,\,1,5504).

Passo 6

Agora x_3=0,6 e y_3=1,5504.
Calcular f(x_3,y_3):
f(x_3,y_3)=y_3-x_3^{2}+1=1,5504-(0,6)^{2}+1=1,5504-0,36+1=2,1904.
Aplicar Euler:
y_4 = y_3 + h\,f(x_3,y_3)=1,5504 + 0,2\cdot 2,1904 = 1,5504 + 0,43808 = 1,98848.
Portanto (x_4,y_4)=(0,8,\,1,98848).

Passo 7

Agora x_4=0,8 e y_4=1,98848.
Calcular f(x_4,y_4):
f(x_4,y_4)=y_4-x_4^{2}+1=1,98848-(0,8)^{2}+1=1,98848-0,64+1=2,34848.
Aplicar Euler para obter y_5 em x_5=1,0:
y_5 = y_4 + h\,f(x_4,y_4)=1,98848 + 0,2\cdot 2,34848 = 1,98848 + 0,469696 = 2,458176.
Então a aproximação em x_5=1,0 é y_5=2,458176.

Passo 8

Breve comentário didático: o método de Euler é simples e rápido, mas tem erro global da ordem de h (ou seja, reduzindo h pela metade espera-se aproximadamente reduzir o erro pela metade). Se precisar de maior precisão para a prova, ver formas melhores (Euler melhorado / Heun, ou Runge–Kutta de ordem 4), mas para exercícios de aplicar Euler simples este é o procedimento correto.

Resposta

y(1)\approx 2,458176

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