1 Considere o seguinte PVI:
a. Aplique o método de Euler simples para aproximar
.
0
0,0
0,5
1
0,2
2
0,4
3
0,6
4
0,8
5
1,0
|
|
|
|
|
| 0 | 0,0 | 0,5 | |
| 1 | 0,2 | ||
| 2 | 0,4 | ||
| 3 | 0,6 | ||
| 4 | 0,8 | ||
| 5 | 1,0 |
Passo 1
O enunciado pede uma aproximação para
do PVI
usando o método de Euler simples com passo
.
Os pontos em serão
.
Queremos calcular sucessivamente e, portanto, obter
.]
Os pontos em
Queremos calcular sucessivamente
Passo 2
O método de Euler simples (também chamado de Euler explícito) parte da ideia da aproximação linear de uma função pela derivada no ponto atual. Pela expansão de Taylor de ordem 1,
Como
, a fórmula iterativa do método é
Aqui:
-
é a aproximação de ; -
; -
(é a função do lado direito da ODE avaliada no ponto ); -
é o passo (aqui ).
Intuitivamente: a cada passo usa-se a inclinação atual
para avançar uma distância
na vertical.
Passo 3
Começamos com
e
.
Calcular
:
Aplicar Euler:
Portanto
.
Passo 4
Agora
e
.
Calcular
:
Aplicar Euler:
Portanto
.
Passo 5
Agora
e
.
Calcular
:
Aplicar Euler:
Portanto
.
Passo 6
Agora
e
.
Calcular
:
Aplicar Euler:
Portanto
.
Passo 7
Agora
e
.
Calcular
:
Aplicar Euler para obter
em
:
Então a aproximação em
é
.
Passo 8
Breve comentário didático: o método de Euler é simples e rápido, mas tem erro global da ordem de
(ou seja, reduzindo
pela metade espera-se aproximadamente reduzir o erro pela metade). Se precisar de maior precisão para a prova, ver formas melhores (Euler melhorado / Heun, ou Runge–Kutta de ordem 4), mas para exercícios de aplicar Euler simples este é o procedimento correto.