e pede a Transformada de Laplace dessa função, ou seja a função F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s) definida por
F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A função está dada apenas até t=3. Vou assumir (situação padrão nessas questões) que f(t)=0 para t>3. Se não for esse o caso, seria preciso a definição para t>3.
Portanto a integral da Transformada reduz-se ao intervalo [0,3].
Vamos decompor a integral em três integrais em função dos ramos indicados:
Essas três integrais são as que temos que calcular explicitamente.
(Observação técnica: \ln t diverge em t=0, mas como está multiplicada por t^{2} no primeiro intervalo, a integral impropria em 0 converge; trataremos esse detalhe nos cálculos.)]
Passo 2
Estratégia de cálculo: vamos chamar as três integrais de I_{1},I_{2},I_{3}:
Para I_{2} e para as partes de I_{3} usaremos integração por partes direta, que nos levará a integrais do tipo \int e^{-st}/t\,dt que são expressas pela função integral exponencial \operatorname{Ei}. Para I_{1} (com o limite em 0) faremos integração por partes também, mas lendo cuidadosamente o limite improprio em 0 — veremos que surgem termos divergentes que se cancelam com divergências de \operatorname{Ei} e o resultado final é finito. Vou lembrar o que é \operatorname{Ei} que vamos usar:
Organizando e prestando atenção às divergências que aparecem isoladamente, obtemos (após calcular as primitivas das partes resultantes e usar a expansão assintótica de \operatorname{Ei} para o termo que diverge) a expressão finita
Aqui \gamma é a constante de Euler-Mascheroni e a combinação \operatorname{Ei}(-s)-\gamma-\ln s surge tipicamente quando se toma limites com \operatorname{Ei} perto de zero; o cálculo completo passa pela expansão
que garante o cancelamento das divergências logarítmicas e produz o termo -(\gamma+\ln s) no resultado.]
Passo 6
Agora somamos I_{1}+I_{2}+I_{3} para obter F(s). Para organizar o resultado agrupei os termos em três blocos principais: coeficientes multiplicando \operatorname{Ei}(-s),\operatorname{Ei}(-2s),\operatorname{Ei}(-3s), termos com \gamma e \ln s, e termos exponenciais simples e logarítmicos multiplicados por exponenciais. Após somar e simplificar os coeficientes, o resultado final pode ser escrito de forma compacta como abaixo.