Encontre a Transformada de Laplace, usando a integral e apresentando todos os cálculos:
f(t)=3 t;

Passo 1

O enunciado pede para calcular, usando a integral, a transformada de Laplace da função f(t)=3t.
Informações dadas:
  • A função é f(t)=3t para t\ge 0.
  • Deve-se usar a definição integral da transformada de Laplace e apresentar todos os cálculos.

Passo 2

Recordando a definição integral da transformada de Laplace: para uma função f(t) definida em [0,\infty), a transformada de Laplace \mathcal{L}\{f\}(s) é dada por
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,f(t)\,dt.
Aqui s é um número complexo; para que a integral imprópria converge normalmente precisamos de \Re(s)>0. Explicando devagar: e^{-st} é um fator exponencial que, quando \Re(s)>0, faz a função decair rapidamente quando t\to\infty, o que garante a convergência da integral para funções de crescimento polinomial como t.

Passo 3

Aplicando a definição à função f(t)=3t:
\mathcal{L}\{3t\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,(3t)\,dt.
Podemos tirar a constante 3 para fora da integral:
\mathcal{L}\{3t\}(s)=3\int_{0}^{\infty} t\,e^{-st}\,dt.

Passo 4

Agora vamos calcular a integral imprópria
I(s)=\int_{0}^{\infty} t\,e^{-st}\,dt,
assumindo \Re(s)>0. Usamos integração por partes. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Escolhas naturais para este integral:
  • u=t (assim du=dt),
  • dv=e^{-st}\,dt (assim v=\int e^{-st}\,dt = -\dfrac{1}{s}e^{-st}, válido para s\neq 0).
Aplicando integração por partes com esses u e v:
I(s)=\left. u v \right|_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} v\,du = \left.\left(-\frac{t}{s}e^{-st}\right)\right|_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty}\left(-\frac{1}{s}e^{-st}\right)\,dt.

Passo 5

Avaliar o termo de fronteira \left.\left(-\dfrac{t}{s}e^{-st}\right)\right|_{0}^{\infty}. Precisamos calcular o limite
\lim_{T\to\infty}\left(-\frac{T}{s}e^{-sT}\right).
Para \Re(s)>0 temos e^{sT}\to\infty no denominador se escrevermos T e^{-sT}=T/(e^{sT}); a exponencial cresce mais rápido que qualquer polinômio, logo
\lim_{T\to\infty} T e^{-sT}=0.
(Se preferir um argumento mais formal, aplicar a regra de l’Hôpital a \lim_{T\to\infty} \dfrac{T}{e^{sT}} dá zero.) Assim o termo de fronteira vale
\left.\left(-\frac{t}{s}e^{-st}\right)\right|_{0}^{\infty}=0 - \left(-\frac{0}{s}e^{0}\right)=0.

Passo 6

Fica então
I(s)= - \int_{0}^{\infty}\left(-\frac{1}{s}e^{-st}\right)\,dt = \frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt.
Calcule a integral exponencial:
\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt = \left.\left(-\frac{1}{s}e^{-st}\right)\right|_{0}^{\infty}.
Novamente, para \Re(s)>0 o termo no infinito é zero, e no t=0 temos e^{-s\cdot 0}=1. Portanto
\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt = 0 - \left(-\frac{1}{s}\right) = \frac{1}{s}.

Passo 7

Substituindo este resultado em I(s):
I(s)=\frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s}=\frac{1}{s^{2}}.
Portanto
\mathcal{L}\{3t\}(s)=3\cdot I(s)=3\cdot\frac{1}{s^{2}}=\frac{3}{s^{2}},
válido para \Re(s)>0.

Passo 8

Observação útil (para decorar e usar na prova): para potência inteira não-negativa vale a fórmula geral
\mathcal{L}\{t^{n}\}(s)=\frac{n!}{s^{n+1}},\qquad n=0,1,2,\dots,
que no caso n=1 \mathcal{L}\{t\}(s)=\dfrac{1}{s^{2}}. A nossa resposta é o caso com fator 3, ou seja \dfrac{3}{s^{2}}.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{3t\}(s)=\frac{3}{s^{2}},\quad \Re(s)>0

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