Use transformada de Laplace para calcular a solução de cada PVI abaixo:
ly^prime prime+y=sen omega t, t>0, omega>0, y(0)=0, y^prime(0)=1 ;

Passo 1

Temos o PVI y''+y=sin(omega t), y(0)=0, y'(0)=1. O conteúdo aqui é equação diferencial linear de segunda ordem e vamos usar a transformada de Laplace, aproveitando as propriedades de transformada de derivadas e a transformada de sin(omega t).

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em cada termo e usando Y(s)= Ly(t):
Ly''+ Ly= Lsin(omega t)
Sabendo que Ly''=s^2Y(s)-s y(0)-y'(0)=s^2Y(s)-1 e Ly=Y(s), além de Lsin(omega t)=omegas^2+omega^2, obtemos
$$
(s2+1)Y(s)-1=\frac{\omega}{s2+\omega^2}\n$$

Passo 3

Isolamos Y(s):
Y(s)=1s^2+1+omega(s^2+1)(s^2+omega^2)

Passo 4

Para inverter a segunda fração usamos frações parciais. Observamos que
omega(s^2+1)(s^2+omega^2)=Bs^2+1+Ds^2+omega^2
Compondo:
omega=B(s^2+omega^2)+D(s^2+1)
Igualando coeficientes de s^2 e constantes resulta B=omegaomega^2-1 e D=-omegaomega^2-1.
Assim
Y(s)=1s^2+1+omegaomega^2-1l(1s^2+1-1s^2+omega^2r)

Passo 5

Invertendo cada termo:
  • L^-11/(s^2+1)=sin t
  • L^-11/(s^2+omega^2)=tfrac1omegasin(omega t)
Logo,
y(t)=sin t+omegaomega^2-1sin t-omegaomega^2-1cdot1omegasin(omega t)
Simplificando, obtemos a solução desejada.

Resposta

y(t)=omega^2+omega-1omega^2-1sin t-1omega^2-1sin(omega t)

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