Use transformada de Laplace para calcular a solução de cada PVI abaixo:
Passo 1
Temos o PVI
,
,
. O conteúdo aqui é equação diferencial linear de segunda ordem e vamos usar a transformada de Laplace, aproveitando as propriedades de transformada de derivadas e a transformada de
.
Passo 2
Aplicando a transformada de Laplace em cada termo e usando
:
Sabendo que
e
, além de
, obtemos
$$
(s2+1)Y(s)-1=\frac{\omega}{s2+\omega^2}\n$$
Passo 3
Isolamos
:
Passo 4
Para inverter a segunda fração usamos frações parciais. Observamos que
Compondo:
Igualando coeficientes de
e constantes resulta
e
.
Assim
Assim
Passo 5
Invertendo cada termo:
Logo,
Simplificando, obtemos a solução desejada.