Use transformada de Laplace para calcular a solução de cada PVI abaixo:
ly^prime prime+4 y^prime=cos 2 t, t>0, y(0)=0, y^prime(0)=4 ;

Passo 1

Resumo do enunciado: temos o PVI y''+4y'=cos2t com y(0)=0 e y'(0)=4. O conteúdo é transformada de Laplace e vamos precisar usar as fórmulas de Ly', Ly'' e Lcos2t para passar a EDO para o domínio de s.

Passo 2

Aplicação da transformada de Laplace: usamos as propriedades
Ly''=s^2Y(s)-s y(0)-y'(0), $$
\mathcal L{y’}=sY(s)-y(0),
$$ Ly'=sY(s)-y(0),
Então a EDO vira
Lcos2t=ss^2+4

Passo 3

Isolando Y(s):
(s^2+4s)Y(s)-4=ss^2+4 $$
(s2+4s)Y(s)=\frac{s}{s2+4}+4=\frac{s+4(s2+4)}{s2+4}=\frac{4s2+s+16}{s2+4}
$$ (s^2+4s)Y(s)=ss^2+4+4=s+4(s^2+4)s^2+4=4s^2+s+16s^2+4

Passo 4

Decomposição em frações parciais: escrevemos
Y(s)=As+Bs+4+Cs+Ds^2+4
Isso implica
4s^2+s+16=A(s+4)(s^2+4)+B s(s^2+4)+(Cs+D)s(s+4)

Passo 5

Cálculo dos coeficientes: igualando potências de s no polinômio acima, obtemos o sistema
16A=16 A+B+C=0 4A+4C+D=4 4A+4B+4D=1
Que dá A=1, B=-19/20, C=-1/20, D=1/5.

Passo 6

Transformada inversa termo a termo:
Y(s)=1s-19201s+4+-tfrac120s+tfrac15s^2+4
Usando \(
\mathcal L^{-1}{1/s}=1,\
\mathcal L{-1}{1/(s+4)}=e{-4t},\
\mathcal L{-1}{s/(s2+4)}=\cos(2t),\
\mathcal L{-1}{1/(s2+4)}=\tfrac{1}{2}\sin(2t),
)
o resultado é
y(t)=1-1920e^-4t-120cos(2t)+110sin(2t)

Resposta

y(t)=1-tfrac1920e^-4t-tfrac120cos(2t)+tfrac110sin(2t).

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