Use Transformada de Laplace do Delta de Dirac para resolver o PVI dado por
l y^prime prime-2 y^prime=de

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado pede para resolver uma equação diferencial com condições iniciais usando a Transformada de Laplace, especificamente lidando com a Delta de Dirac. A matéria que vamos usar envolve Transformadas de Laplace e propriedades da Delta de Dirac. Para isso, vamos precisar conhecer as regras de transformação para derivadas e para a Delta de Dirac.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. A equação é:
y'' - 2 y' = de
A Transformada de Laplace de $ y’’ $ é $ s^2 Y(s) - s y(0) - y’(0) $ e de $ y’ $ é $ s Y(s) - y(0) $. Aplicando isso:
y''
Simplificando:
s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)

Passo 3

Agora, vamos resolver para $ Y(s) $:
Y(s)
Então:
Y(s)(s^2 - 2s) = 1 + Lde

Passo 4

Precisamos agora transformar a expressão com a Delta de Dirac. Sabemos que:
Lde
No nosso caso, $ a = \frac{\pi}{2} $ e $ f(t) = \sin(t) $, então:
a = pi2
Substituindo de volta na expressão de $ Y(s) $:
f(t) = sin(t)

Passo 5

Vamos agora decompor em frações parciais para facilitar a inversão:
1s(s - 2) = As + Bs - 2
Multiplicando ambos os lados por $ s(s - 2) $:
s(s - 2)
Resolvendo para $ A $ e $ B $:
1 = A(s - 2) + B s
A
Então:
B

Passo 6

Substituindo de volta na expressão de $ Y(s) $:
Y(s)
Agora, aplicamos a Transformada de Laplace inversa. Sabemos que:
Y(s) = -12s + 12(s - 2) + e^-pi2 s ( -12s + 12(s - 2) )
L^-11s = 1
E, para termos multiplicados por exponenciais na transformação, usamos o teorema do deslocamento.

Passo 7

Aplicando a Transformada inversa:
y(t) = -12 cdot 1 + 12 e^2 t + u(t - pi2) ( -12 cdot 1 + 12 e^2(t - pi2) )
Onde $ u(t - \frac{\pi}{2}) $ é a função degrau (função de Heaviside) que ativa a segunda parte da solução a partir de $ t = \frac{\pi}{2} $.

Passo 8

Simplificando a expressão:
y(t) = 12 ( e^2 t - 1 ) - 12 u(t - pi2) ( 1 - e^2(t - pi2) )
Podemos, se quiser, reescrever de forma mais organizada, mas essa é a solução completa em termos de funções exponenciais e degrau.

Resposta

A solução da equação diferencial é
y(t) = 12(e^2 t - 1) - 12 , u(t - pi2)(1 - e^2(t - pi2))

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