Use Transformada de Laplace do Delta de Dirac para resolver o PVI dado por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado pede para resolver uma equação diferencial com condições iniciais usando a Transformada de Laplace, especificamente lidando com a Delta de Dirac. A matéria que vamos usar envolve Transformadas de Laplace e propriedades da Delta de Dirac. Para isso, vamos precisar conhecer as regras de transformação para derivadas e para a Delta de Dirac.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. A equação é:
A Transformada de Laplace de $ y’’ $ é $ s^2 Y(s) - s y(0) - y’(0) $ e de $ y’ $ é $ s Y(s) - y(0) $. Aplicando isso:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos resolver para $ Y(s) $:
Então:
Passo 4
Precisamos agora transformar a expressão com a Delta de Dirac. Sabemos que:
No nosso caso, $ a = \frac{\pi}{2} $ e $ f(t) = \sin(t) $, então:
Substituindo de volta na expressão de $ Y(s) $:
Passo 5
Vamos agora decompor em frações parciais para facilitar a inversão:
Multiplicando ambos os lados por $ s(s - 2) $:
Resolvendo para $ A $ e $ B $:
Então:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão de $ Y(s) $:
Agora, aplicamos a Transformada de Laplace inversa. Sabemos que:
E, para termos multiplicados por exponenciais na transformação, usamos o teorema do deslocamento.
Passo 7
Aplicando a Transformada inversa:
Onde $ u(t - \frac{\pi}{2}) $ é a função degrau (função de Heaviside) que ativa a segunda parte da solução a partir de $ t = \frac{\pi}{2} $.
Passo 8
Simplificando a expressão:
Podemos, se quiser, reescrever de forma mais organizada, mas essa é a solução completa em termos de funções exponenciais e degrau.
Resposta
A solução da equação diferencial é