Use o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite para estudar a convergência das seguintes séries:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite para ver se a série
converge ou não. A matéria aqui envolve séries infinitas e testes de convergência. Para isso, vamos comparar nossa série com outra que a gente já sabe se converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os termos da nossa série:
. O numerador é o logaritmo natural de
e o denominador é
ao quadrado. Como
cresce,
cresce bem mais rápido que
, então esperamos que os termos da série vão ficando bem pequenos, o que sugere que a série pode convergir.
Passo 3
Vamos escolher uma série para comparar. Uma boa candidata é a série
, conhecida como série p. Sabemos que essa série converge se
e diverge se
. No nosso caso, a série
converge porque
.
Passo 4
Agora, vamos usar o Critério da Comparação pelo Limite. Esse critério diz que se os termos de duas séries são positivos e:
onde
, então as duas séries convergem ou divergem juntas.
Passo 5
No nosso caso,
e
. Vamos calcular o limite:
Hmm, o limite é infinito, o que não se encaixa diretamente no critério.
Passo 6
Quando o limite é infinito, podemos inverter a razão para aplicar o critério. Vamos considerar:
Agora, como
não se aplica aqui, mas sabemos que
converges e
é menor que
para grandes
, pela comparação direta, a série
também converge.
Resposta
A série
converge.