Use o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite para estudar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty ln nn^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite para ver se a série sumn=1^infty ln nn^2 converge ou não. A matéria aqui envolve séries infinitas e testes de convergência. Para isso, vamos comparar nossa série com outra que a gente já sabe se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os termos da nossa série: ln nn^2. O numerador é o logaritmo natural de n e o denominador é n ao quadrado. Como n cresce, n^2 cresce bem mais rápido que ln n, então esperamos que os termos da série vão ficando bem pequenos, o que sugere que a série pode convergir.

Passo 3

Vamos escolher uma série para comparar. Uma boa candidata é a série sumn=1^infty 1n^p, conhecida como série p. Sabemos que essa série converge se p > 1 e diverge se p <= 1. No nosso caso, a série sumn=1^infty 1n^2 converge porque p = 2 > 1.

Passo 4

Agora, vamos usar o Critério da Comparação pelo Limite. Esse critério diz que se os termos de duas séries são positivos e:
limn to infty anbn = c
onde 0 < c < infty, então as duas séries convergem ou divergem juntas.

Passo 5

No nosso caso, an = ln nn^2 e bn = 1n^2. Vamos calcular o limite:
limn to infty ln nn^21n^2 = limn to infty ln n = infty
Hmm, o limite é infinito, o que não se encaixa diretamente no critério.

Passo 6

Quando o limite é infinito, podemos inverter a razão para aplicar o critério. Vamos considerar:
limn to infty bnan = limn to infty 1n^2ln nn^2 = limn to infty 1ln n = 0
Agora, como 0 < c < infty não se aplica aqui, mas sabemos que sum bn converges e an é menor que bn para grandes n, pela comparação direta, a série sum an também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty ln nn^2 converge.

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