Nos exercícios 8 a 11, determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos
, da região
delimitada pelos gráficos das equações dadas.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que encontrar o volume de um sólido que é gerado quando rotacionamos uma região em torno do eixo dos $ y $. A região $ \boldsymbol{R} $ está limitada pelas curvas $ y = \ln x $, $ y = -1 $, $ y = 2 $ e $ x = 0 $. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos (ou anéis) para volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são os limites dessa região. A curva $ y = \ln x $ está definida para $ x > 0 $. O eixo $ x = 0 $ é o próprio eixo dos $ y $. As linhas horizontais $ y = -1 $ e $ y = 2 $ determinam a parte superior e inferior da região que vamos girar.
Passo 3
Como vamos girar em torno do eixo dos $ y $, é mais fácil expressar $ x $ em termos de $ y $. A partir de $ y = \ln x $, podemos resolver para $ x $:
Isso nos dá a distância do ponto da curva ao eixo de rotação para qualquer valor de $ y $.
Passo 4
Agora, vamos identificar os limites de integração para $ y $. A região está entre $ y = -1 $ e $ y = 2 $. Então, nosso intervalo de integração será de $ y = -1 $ a $ y = 2 $.
Passo 5
Usando o método dos discos, o volume $ V $ é dado pela integral de $ \pi $ vezes o raio ao quadrado, integrado de $ y = -1 $ a $ y = 2 $. Aqui, o “raio” é a distância do eixo dos $ y $ até a curva $ x = e^{y} $:
Simplificando:
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Aplicando os limites de $ y = -1 $ a $ y = 2 $:
Resposta
O volume do sólido de revolução é: