Nos exercícios 8 a 11, determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos y, da região R delimitada pelos gráficos das equações dadas.
y=ln x, y=-1, y=2 e x=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que encontrar o volume de um sólido que é gerado quando rotacionamos uma região em torno do eixo dos $ y $. A região $ \boldsymbol{R} $ está limitada pelas curvas $ y = \ln x $, $ y = -1 $, $ y = 2 $ e $ x = 0 $. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos (ou anéis) para volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são os limites dessa região. A curva $ y = \ln x $ está definida para $ x > 0 $. O eixo $ x = 0 $ é o próprio eixo dos $ y $. As linhas horizontais $ y = -1 $ e $ y = 2 $ determinam a parte superior e inferior da região que vamos girar.

Passo 3

Como vamos girar em torno do eixo dos $ y $, é mais fácil expressar $ x $ em termos de $ y $. A partir de $ y = \ln x $, podemos resolver para $ x $:
y
Isso nos dá a distância do ponto da curva ao eixo de rotação para qualquer valor de $ y $.

Passo 4

Agora, vamos identificar os limites de integração para $ y $. A região está entre $ y = -1 $ e $ y = 2 $. Então, nosso intervalo de integração será de $ y = -1 $ a $ y = 2 $.

Passo 5

Usando o método dos discos, o volume $ V $ é dado pela integral de $ \pi $ vezes o raio ao quadrado, integrado de $ y = -1 $ a $ y = 2 $. Aqui, o “raio” é a distância do eixo dos $ y $ até a curva $ x = e^{y} $:
V
Simplificando:
pi

Passo 6

Vamos resolver a integral:
integral e^2y dy = e^2y2 + C
Aplicando os limites de $ y = -1 $ a $ y = 2 $:
y = -1

Resposta

O volume do sólido de revolução é:
V = pi2 ( e^4 - e^-2 )

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