Use Transformada de Laplace para encontrar a solução dos seguintes P.V.I.s:
y^prime prime+y^prime+7 y=llt, & 0 <= t<2 0, & 2 <= t, y(0)=0, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede a solução do P.V.I.
y''+y'+7y=f(t), y(0)=0,;y'(0)=0,
onde
f(t)= t, & 0<= t<2, 0, & t>=2
O conteúdo é o uso da Transformada de Laplace para P.V.I. com força dependente de Heaviside.

Passo 2

Escrevemos
f(t)=tl(u(t)-u(t-2)r)
Tomando Laplace em ambos os lados de
y''+y'+7y=f(t),
usando Y(s)= Ly(t) e y(0)=y'(0)=0, obtemos
(s^2+s+7)Y(s)= Lf(s)
Como
Lt,u(t)=1s^2, Lt,u(t-2)=e^-2sl(1s^2+2sr),
segue
Lf(s) =1s^2-e^-2sl(1s^2+2sr)
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Y(s) =1s^2+s+7l(1s^2-e^-2sl(1s^2+2sr)r)

Passo 3

Separamos
Y(s)=Y1(s)-e^-2sY2(s),
onde
Y1(s)=1s^2,1s^2+s+7, Y2(s)=l(1s^2+2sr)1s^2+s+7
Isto dá, por propriedade de descolamento,
y(t)=y1(t)-u(t-2),y2(t-2),
com
y1(t)= L^-1Y1(s), y2(t)= L^-1Y2(s)

Passo 4

Note que
L^-1!1s^2+s+7 = h(t) = e^-tfract2,1omegasin(omega t),
onde omega=tfracraiz272.
Então por convolução
y1(t) = integral0^t(t-tau),h(tau),dtau,
e
y2(t) = y1(t)+2integral0^th(tau),dtau
As duas integrais podem ser avaliadas em forma fechada usando
integral0^te^-atausin(btau),dtau = ba^2+b^2(1 - e^-a t(cos b t + tfracab sin b t ))
com a=tfrac12,;b=omega. Após simplificar encontra– se
y1(t) = e^-tfract2(149cos(omega t) - 13147raiz3sin(omega t)) + t7 - 149,
y2(t) = y1(t) + 27(1 - e^-tfract2(cos(omega t) + tfrac12omega sin(omega t)))

Passo 5

Portanto a solução completa é
y(t)= y1(t),&0<= t<2, y1(t)-y2(t-2),&t>=2,
com y1 e y2 dados acima.

Resposta

boxed y(t) = e^-tfract2!(tfrac149cos(tfrac3raiz32 t) - tfrac13147raiz3 sin(tfrac3raiz32 t)) + tfract7 - tfrac149, & 0 <= t < 2, [6pt] e^-tfract2!(tfrac149cos(tfrac3raiz32 t) - tfrac13147raiz3 sin(tfrac3raiz32 t)) + tfract7 - tfrac149 - y2(t-2), & t >= 2,
onde
y2(s) = y1(s) + 27 (1 - e^-tfracs2 (cos(tfrac3raiz32 s) + tfrac12omega sin(tfrac3raiz32 s))) ]

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