Use Transformada de Laplace para encontrar a solução dos seguintes P.V.I.s:
y^prime prime-4 y^prime+4 y=3 de<a(t-1)+de<a(t-2), y(0)=1, y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' - 4y' + 4y = 3,de<a(t-1) + de<a(t-2), y(0)=1,;y'(0)=1
usando transformada de Laplace. O método consiste em transformar toda a EDO e os impulsos de<a no domínio de s, resolver algebricamente para Y(s) e então inverter a transformada aplicando também o teorema do deslocamento (segundo teorema do valor final).

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo, lembrando
Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0), Ly'=s,Y(s)-y(0),
e
Lde<a(t-a)=e^-a s.
Dessa forma
s^2Y(s)-scdot1-1 ;-;4l(sY(s)-1r);+;4Y(s) ;=;3e^-s+e^-2s
Ao expandir e agrupar termos em Y(s) obtemos
(s^2-4s+4),Y(s);-;s+3 ;=;3e^-s+e^-2s
Passando -s+3 para o segundo membro:
(s^2-4s+4),Y(s)=s-3 ;+;3e^-s+e^-2s

Passo 3

Como s^2-4s+4=(s-2)^2, escreve-se
Y(s) =s-3(s-2)^2 +3,e^-s(s-2)^2 +e^-2s(s-2)^2
Para inverter a parte não deslocada, decompomos
s-3(s-2)^2 =(s-2)-1(s-2)^2 =1s-2-1(s-2)^2

Passo 4

Agora tomamos a antitransformada termo a termo:
  1. L^-1!l[tfrac1s-2r]=e^2t
  2. L^-1!l[tfrac1(s-2)^2r]=t,e^2t
  3. pelo deslocamento:
    L^-1!l[e^-sF(s)r]=f(t-1),u(t-1),
    com F(s)=1/(s-2)^2 e f(t)=t,e^2t.
Assim,
L^-1!l[3,e^-s(s-2)^2r] =3,(t-1)e^2(t-1),u(t-1),
L^-1!l[e^-2s(s-2)^2r] =(t-2)e^2(t-2),u(t-2)

Passo 5

Somando todas as partes, a solução no domínio do tempo é
y(t) =l[e^2t-t,e^2tr] +3,(t-1)e^2(t-1),u(t-1) +(t-2)e^2(t-2),u(t-2)

Resposta

y(t) =l(1-tr)e^2t +3,(t-1)e^2(t-1),u(t-1) +(t-2)e^2(t-2),u(t-2)

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