Use Transformada de Laplace para encontrar a solução dos seguintes P.V.I.s:
y^prime prime+y^prime+y=2 de<a(t-1)-de<a(t-2), y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado dá o P.V.I.
y'' + y' + y = 2,de<a(t-1) ;-;de<a(t-2), y(0)=1,;y'(0)=0
O conteúdo é transformar ambos os lados pela Transformada de Laplace, resolver para Y(s)=Ly(t) e depois inverter cada termo usando as propriedades de deslocamento e as fórmulas padrão de inversão de Laplace.

Passo 2

Tomando Laplace de cada termo e usando
Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0),
Ly'=sY(s)-y(0),
Ly=Y(s),
Lde<a(t-a)=e^-a s, obtemos
l(s^2Y - scdot1 - 0r) +l(sY - 1r) +Y ;=; 2,e^-s;-;e^-2s

Passo 3

Agrupando termos em Y(s) e isolando:
(s^2 + s + 1),Y(s) - (s+1) = 2,e^-s-e^-2s,
Y(s) = s+1s^2+s+1 ;+;2,e^-ss^2+s+1 ;-;e^-2ss^2+s+1

Passo 4

Para inverter, separamos:
  1. Y1(s)=dfracs+1s^2+s+1.
  2. Y2(s)=2,dfrace^-ss^2+s+1.
  3. Y3(s)=-,dfrace^-2ss^2+s+1.
No denominador completamos o quadrado:
s^2+s+1 = l(s+tfrac12r)^2 +l(tfracraiz32r)^2
Escrevemos
s+1s^2+s+1 =(s+tfrac12)+tfrac12(s+tfrac12)^2+(tfracraiz32)^2 =s+tfrac12cdots+tfrac12cdots

Passo 5

Usamos as inversões padrão:
L^-1!l(s+tfrac12(s+tfrac12)^2+(tfracraiz32)^2r) = e^-t/2cos!l(tfracraiz32tr),
L^-1!l(tfrac12(s+tfrac12)^2+(tfracraiz32)^2r) =1raiz3,e^-t/2sin!l(tfracraiz32tr)
Somando, a parte não deslocada é
yh(t) = e^-t/2l[cos!l(tfracraiz32tr) +tfrac1raiz3sin!l(tfracraiz32tr)r]
Para os termos com e^-as usamos o teorema do deslocamento:
L^-1e^-a sF(s) = u(t-a),f(t-a)
Aqui
f(t)=L^-1!l(1s^2+s+1r) =2raiz3,e^-t/2sin!l(tfracraiz32tr)
Logo
y2(t) =2;u(t-1);f(t-1) =4raiz3,u(t-1),e^-tfract-12 sin!l(tfracraiz32(t-1)r),
y3(t) =-,u(t-2);f(t-2) =-2raiz3,u(t-2),e^-tfract-22 sin!l(tfracraiz32(t-2)r)

Passo 6

Somando tudo:
y(t) = e^-t/2l[cos!l(tfracraiz32tr) +tfrac1raiz3sin!l(tfracraiz32tr)r] +4raiz3,u(t-1),e^-tfract-12 sin!l(tfracraiz32(t-1)r) -2raiz3,u(t-2),e^-tfract-22 sin!l(tfracraiz32(t-2)r)

Resposta

y(t) = e^-t/2l[cos!l(tfracraiz32tr) +tfrac1raiz3sin!l(tfracraiz32tr)r] +4raiz3,u(t-1),e^-tfract-12 sin!l(tfracraiz32(t-1)r) -2raiz3,u(t-2),e^-tfract-22 sin!l(tfracraiz32(t-2)r)

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