Use a transformada de Laplace e expresse a solução dos problemas como uma integral.
y^prime prime-k^2 y=g(t), y(0)=0, y^prime(0)=0;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y''-k^2y=g(t),
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0, usando transformada de Laplace e expressando a solução como integral. Vamos precisar dos conceitos de transformada de Laplace de derivadas e do teorema da convolução.

Passo 2

Aplicar a transformada de Laplace em cada termo da equação. Para y'' temos
Ly''(t)=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)=s^2Y(s),
pois y(0)=0 e y'(0)=0. Para y(t) temos Ly(t)=Y(s) e para g(t) escrevemos Lg(t)=G(s).

Passo 3

Substituindo as transformadas na equação original obtemos
s^2Y(s)-k^2Y(s)=G(s)
ou seja
(s^2-k^2)Y(s)=G(s)
Dessa forma, isolamos Y(s):
Y(s)=G(s)s^2-k^2

Passo 4

Reconhecer a transformada inversa de 1/(s^2-k^2). Sabemos que
L1ksinh(kt)=1s^2-k^2
Isso vem da definição de sinh(kt)=(e^kt-e^-kt)/2 e do fato de Le^pm kt=1/(smp k).

Passo 5

Aplicar o teorema da convolução: se
Y(s)=G(s)cdot 1s^2-k^2,
então
y(t)=integral0^tg(tau)cdot 1ksinhl(k(t-tau)r),dtau
Essa é a solução em forma de integral, resultante da convolução de g(t) com 1/ksinh(kt).

Resposta

y(t)=1kintegral0^tsinhl(k(t-tau)r),g(tau),dtau

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