Use a transformada de Laplace e expresse a solução dos problemas como uma integral.
y^prime prime+4 y^prime+4 y=g(t), y(0)=2, y^prime(0)=-3;

Passo 1

Estamos resolvendo a EDO y'' + 4y' + 4y = g(t) com condições iniciais y(0)=2, y'(0)=-3. O conteúdo é Transformada de Laplace e depois expressão da solução por integral (convolução).

Passo 2

Aplicamos a Transformada de Laplace em cada termo. Usando Ly'' = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0), Ly' = sY(s) - y(0) e chamando Lg(t)=G(s), obtemos:
(s^2Y(s) - 2s + 3) + 4(sY(s) - 2) + 4Y(s) = G(s)

Passo 3

Agrupando os termos em Y(s) e os de condições iniciais:
(s^2 + 4s + 4)Y(s) = G(s) + 2s + 5

Passo 4

Logo,
Y(s) = G(s)(s+2)^2 + 2s + 5(s+2)^2

Passo 5

Dividimos a parte das condições iniciais: escrevemos 2s+5 = 2(s+2) + 1, então
2s+5(s+2)^2 = 2(s+2)(s+2)^2 + 1(s+2)^2 = 2s+2 + 1(s+2)^2

Passo 6

Agora invertendo a Laplace da parte fixa (sem G(s)):
L^-1ltfrac2s+2r = 2e^-2t, L^-1ltfrac1(s+2)^2r = te^-2t

Passo 7

E a parte com G(s)/(s+2)^2 vira uma convolução. Usando L^-11/(s+2)^2 = t e^-2t, temos
L^-1ltfracG(s)(s+2)^2r = integral0^t(t-tau)e^-2(t-tau),g(tau),dtau

Passo 8

Somando tudo, a solução é a resposta livre das condições iniciais mais o termo forçado por convolução.

Resposta

y(t) = (2 + t)e^-2t + integral0^t(t-tau)e^-2(t-tau),g(tau),dtau

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