Encontre a transformada de Laplace.
f(t)=integral0^t e^tau(t-tau)^3 d tau;

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=integral0^te^tau(t-tau)^3dtau
Aqui estamos em Laplace e vamos usar a propriedade de convolução para simplificar o cálculo.

Passo 2

Note que
f(t)=integral0^tg(tau)h(t-tau)dtau
com
g(t)=e^t, h(t)=t^3
ou seja, f é a convolução de g com h.

Passo 3

Calculemos as transformadas individuais:
Para g(t)=e^t temos
G(s)=Le^t=1s-1,
válido para Re(s)>1.
Para h(t)=t^3 usamos a fórmula Lt^n=n!s^n+1, logo
H(s)=Lt^3=3!s^4=6s^4

Passo 4

Pela propriedade de convolução, a transformada de Laplace de f é o produto de G(s) por H(s):
F(s)=G(s)cdot H(s)=1s-1cdot6s^4=6s^4(s-1)

Resposta

F(s)=6s^4(s-1)

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