Considere os conjuntos
Determine as imagens de
e
pelas funções a seguir.
Passo 1
O enunciado pede a imagem dos conjuntos A e B pelo mapeamento f(z)=jz. Aqui o conteúdo é transformação geométrica no plano complexo: multiplicar por j equivale a uma rotação de +90° (sem mudança de módulo). Vamos usar isso para encontrar f(A) e f(B).
Passo 2
O conjunto A é dado por
, ou seja, a reta que faz
. Se z=x(1+j), então
Passo 3
Assim os pontos imagem w=f(z) satisfazem w = x(-1+j), ou seja,
e
, daí
. Logo o conjunto f(A) é
Passo 4
Para B, temos
, que é o semicírculo superior fechado. Parametrizando z= e^{j\theta} com
, temos
Passo 5
logo o argumento varia em
. Isso dá o semicírculo fechado do círculo unidade com , o que equivale a
. Portanto o conjunto f(B) é
Resposta
f(A)={w\in\mathbb{C}\mid \Re(w)=-\Im(w)},\quad f(B)={w\in\mathbb{C}\mid |w|=1,\Re(w)\le0}