Considere os conjuntos
A=z in C mid Re(z)=Im(z) e B=z in C mid Im(z) >= 0 e |z|=1
Determine as imagens de A e B pelas funções a seguir.
f(z)=j z

Passo 1

O enunciado pede a imagem dos conjuntos A e B pelo mapeamento f(z)=jz. Aqui o conteúdo é transformação geométrica no plano complexo: multiplicar por j equivale a uma rotação de +90° (sem mudança de módulo). Vamos usar isso para encontrar f(A) e f(B).

Passo 2

O conjunto A é dado por A=z=x+jymid x=y, ou seja, a reta que faz y=x. Se z=x(1+j), então
f(z)=jz = jl(x(1+j)r)=xl(j+j^2r)=x(-1+j)

Passo 3

Assim os pontos imagem w=f(z) satisfazem w = x(-1+j), ou seja, Re(w)=-x e Im(w)=x, daí Re(w)=-Im(w). Logo o conjunto f(A) é
winCmid Re(w)=-Im(w)

Passo 4

Para B, temos B=zmid |z|=1,Im(z)>=0, que é o semicírculo superior fechado. Parametrizando z= e^{j\theta} com thetain[0,pi], temos
f(z)=jz = e^j(theta+pi/2),

Passo 5

logo o argumento varia em [0,pi]+pi/2=[pi/2,3pi/2]. Isso dá o semicírculo fechado do círculo unidade com , o que equivale a Arg(w)in[pi/2,3pi/2]. Portanto o conjunto f(B) é
Re(w)<=0

Resposta

f(A)={w\in\mathbb{C}\mid \Re(w)=-\Im(w)},\quad f(B)={w\in\mathbb{C}\mid |w|=1,\Re(w)\le0}

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