Use a transformada de Laplace para obter a solução do problema de valor inicial:
Passo 1
Vamos reescrever o problema de modo a usar condições iniciais em x=0 e aplicar transformada de Laplace.
Passo 2
Faça a mudança de variável x = t–1 e defina z(x)=y(x+1). Assim z(0)=y(1)=2, z′(0)=y′(1)=3, e a ODE vira
Passo 3
Aplique a transformada de Laplace em x: use L{x f(x)} = -d/ds[F(s)], L{z’}=sZ(s)-z(0), L{z’’}=s^2Z(s)-sz(0)-z’(0). Após transformar e reorganizar, obtém-se uma EDO em Z(s) de primeira ordem que, resolvida por fator integrante, dá Z(s).
Passo 4
Inverta a transformada de Laplace de Z(s) e retorne à variável t. O cálculo mostra que z(x) = (x+1)^2 + (x+1), logo y(t)=z(t-1) = t^2 + t.
Resposta
y(t)=t^2+t