Determine os pontos críticos das funções:
f(x)=10 x(x-10)x-20

Passo 1

A função em questão é f(x)=10x(x-10)x-20. Estamos no conteúdo de derivadas e pontos críticos, e vamos precisar usar a definição de ponto crítico (lugares onde f'(x)=0 ou onde f'(x) não existe) e a regra do quociente para derivar.

Passo 2

Para derivar f(x) pela regra do quociente, escrevemos o numerador N(x)=10x(x-10)=10x^2-100x e o denominador D(x)=x-20. Suas derivadas são
N'(x)=20x-100,
D'(x)=1

Passo 3

Então
f'(x)=N'(x)D(x)-N(x)D'(x)[D(x)]^2 = (20x-100)(x-20)-(10x^2-100x)(x-20)^2

Passo 4

Podemos simplificar o numerador:
(20x-100)(x-20)=20x^2-500x+2000,
subtraindo 10x^2-100x obtemos
20x^2-500x+2000-(10x^2-100x)=10x^2-400x+2000=10l(x^2-40x+200r)

Passo 5

Para encontrar onde f'(x)=0, basta resolver
10l(x^2-40x+200r)=0 Longrightarrow x^2-40x+200=0

Passo 6

O discriminante é De, logo
x=40pmraiz8002=20pm10raiz2

Passo 7

Agora, analisando o domínio de f, vemos que x=20 é excluído (denominador nulo), então não é ponto crítico interno. Os únicos pontos críticos obtidos são
x=20-10raiz2e x=20+10raiz2

Resposta

x=20-10raiz2 e x=20+10raiz2.

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