Use a transformada de Laplace para resolver cada problema de valor inicial abaixo:
y^{\prime \prime}(t)+y(t)=5, com y(0)=0 e y^{\prime}(0)=1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
y''(t) + y(t) = 5
com as condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1 usando a transformada de Laplace. Vamos usar as propriedades de linearidade e as fórmulas de transformada de derivadas.

Passo 2

Aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados. Denotando Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, temos
\mathcal{L}\{y''(t)\} + \mathcal{L}\{y(t)\} = \mathcal{L}\{5\}.
Como
\mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0)=s^2Y(s)-1,
\mathcal{L}\{y\}=Y(s),
\mathcal{L}\{5\}=\frac{5}{s},
obtemos em s:
(s^2+1)\,Y(s)-1=\frac{5}{s}.

Passo 3

Isolar Y(s) e decompor em frações parciais:
(s^2+1)Y(s)=\frac{5}{s}+1 \quad\Longrightarrow\quad Y(s)=\frac{5/s+1}{s^2+1} =\frac{5}{s(s^2+1)}+\frac{1}{s^2+1}.
Para \dfrac{5}{s(s^2+1)} fazemos frações parciais:
\frac{5}{s(s^2+1)}=\frac{5}{s}-\frac{5s}{s^2+1}.
Logo
Y(s)=\frac{5}{s}-\frac{5s}{s^2+1}+\frac{1}{s^2+1}.

Passo 4

Aplicar a transformada inversa de Laplace termo a termo: \mathcal{L}^{-1}\{5/s\}=5, \mathcal{L}^{-1}\{5s/(s^2+1)\}=5\cos t
e \mathcal{L}^{-1}\{1/(s^2+1)\}=\sin t.
Portanto
y(t)=5-5\cos t+\sin t.

Resposta

y(t)=5-5\cos t+\sin t

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