Use a transformada de Laplace para resolver cada problema de valor inicial abaixo:
y^{\prime \prime}(t)+y(t)=5, com y(0)=0 e y^{\prime}(0)=1.
y^{\prime \prime}(t)+y(t)=5, com y(0)=0 e y^{\prime}(0)=1.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO
com as condições iniciais
e
usando a transformada de Laplace. Vamos usar as propriedades de linearidade e as fórmulas de transformada de derivadas.
Passo 2
Aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados. Denotando
, temos
Como
obtemos em
:
Passo 3
Isolar
e decompor em frações parciais:
Para
fazemos frações parciais:
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Passo 4
Aplicar a transformada inversa de Laplace termo a termo:
,
e .
Portanto
e
Portanto