5^{\circ} ) Usando a função degrau unitário, escreva a forma compacta da função definida por partes abaixo:
f(t)= \begin{cases}1, & \text { se } 0 \leq t<4 \\\\ 0, & \text { se } 4 \leq t<5 \\\\ 1, & \text { se } t \geq 5\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(t)= \begin{cases} 1, & 0 \le t<4,\\\\ 0, & 4 \le t<5,\\\\ 1, & t\ge5, \end{cases}
e pede representá-la em forma compacta usando a função degrau unitário. O conteúdo é manipulação de funções em “blast” de degrau.

Passo 2

A função degrau unitário deslocada é definida por
u(t-a)= \begin{cases} 0, & t<a,\\\\ 1, & t\ge a. \end{cases}
Em particular u(t) pula de 0 para 1 em t=0.

Passo 3

Para obter um trecho que vale 1 em [0,4) e 0 em [4,\infty) usamos
u(t)-u(t-4),
pois em 0\le t<4 isso dá 1-0=1 e em t\ge4 1-1=0.
Depois, para “ligar” o valor 1 de novo a partir de t=5, basta acrescentar u(t-5), que é zero para t<5 e passa a 1 em t\ge5.

Resposta

f(t)=u(t)-u(t-4)+u(t-5).

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