Use a transformada de Laplace para resolver cada um dos Problemas de Valor Inicial dados abaixo:
y^prime-2 y=0, y(0)=1.

Passo 1

Temos o Problema de Valor Inicial y'-2y=0 com condição y(0)=1. O conteúdo aqui é resolver uma EDO de primeira ordem usando transformada de Laplace. Vamos precisar das propriedades: Ly'(t)=sY(s)-y(0) e Ly(t)=Y(s).

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da EDO. Usando linearidade, obtemos
Ly'(t)-2Ly(t)=0
Logo,
sY(s)-y(0)-2Y(s)=0
Substituindo y(0)=1:
sY(s)-1-2Y(s)=0

Passo 3

Agora isolamos Y(s). Agrupando termos em Y(s):
(s-2)Y(s)=1
Portanto
Y(s)=1s-2

Passo 4

Reconhecemos na tabela de transformadas que
L^-1l1s-ar=e^at
Aqui a=2, então a solução no domínio do tempo é
y(t)=e^2t

Resposta

y(t) = e^2t

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