Use a transformada de Laplace para resolver as EDO’s abaixo:
y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}+4 y=0, y(0)=1, y^{\prime}(0)=0;

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial ordinária de segunda ordem com condições iniciais e pede a solução:
y'' + 5y' + 4y = 0,
com
y(0)=1,\qquad y'(0)=0.
Devemos encontrar a função y(t) que satisfaz a EDO e essas condições iniciais.

Passo 2

Vamos introduzir a transformada que vamos usar (cade a aula rapidinha e prática). A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt,
onde s é a variável complexa (na prática em EDOs trabalhamos com s real suficiente para convergência). A ideia é transformar a EDO (em t) numa equação algébrica em s, resolver para F(s) e depois aplicar a transformada inversa para voltar a y(t).

Passo 3

Precisamos de duas propriedades fundamentais: linearidade e fórmulas para transformada de derivadas. Elas vêm de integrar por partes; aqui estão as fórmulas usadas (vou explicar cada termo):
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}(s)=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
onde Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s). Essas fórmulas dizem: transformar derivadas gera factores s multiplicando Y(s) e aparecem termos que envolvem as condições iniciais y(0) e y'(0). Elas são essenciais porque transformam a EDO em uma equação algébrica.

Passo 4

Agora aplicamos a transformada de Laplace a cada termo da EDO. Usando a linearidade,
\mathcal{L}\{y''\} + 5\mathcal{L}\{y'\} + 4\mathcal{L}\{y\} = 0.
Substituindo as fórmulas das derivadas:
\big(s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\big) + 5\big(sY(s)-y(0)\big) + 4Y(s) = 0.
Lembre-se: y(0)=1 e y'(0)=0. Vamos substituir esses valores.

Passo 5

Substituindo y(0)=1 e y'(0)=0 na expressão do passo anterior:
s^{2}Y(s) - s + 5sY(s) - 5 + 4Y(s) = 0.
Agrupando os termos que envolvem Y(s) e os termos constantes:
Y(s)\big(s^{2} + 5s + 4\big) - (s+5) = 0.
Isolando Y(s):
Y(s) = \frac{s+5}{s^{2}+5s+4}.

Passo 6

Vamos factorizar o denominador para facilitar a inversa. O polinômio s^{2}+5s+4 fatoriza como
s^{2}+5s+4 = (s+1)(s+4),
pois 1+4=5 e 1\cdot4=4. Então
Y(s)=\frac{s+5}{(s+1)(s+4)}.

Passo 7

Agora fazemos decomposição em frações parciais para escrever Y(s) em termos cujas inversas conhecemos. Procuramos constantes A e B tais que
\frac{s+5}{(s+1)(s+4)}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+4}.
Multiplicando ambos os lados por (s+1)(s+4) obtemos a identidade
s+5 = A(s+4) + B(s+1).

Passo 8

Para achar A e B podemos usar o método de avaliar em raízes simples (é o jeito rápido e seguro). Primeiro faça s=-1:
(-1)+5 = A((-1)+4) + B\cdot 0 \quad\Rightarrow\quad 4 = 3A \quad\Rightarrow\quad A=\frac{4}{3}.
Agora faça s=-4:
(-4)+5 = A\cdot 0 + B((-4)+1) \quad\Rightarrow\quad 1 = -3B \quad\Rightarrow\quad B=-\frac{1}{3}.
Então
Y(s)=\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{s+1} - \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{s+4}.

Passo 9

Agora aplicamos a transformada inversa. Sabemos a transformada inversa básica:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+a}\right\}(t)=e^{-a t}.
Usando linearidade e essa fórmula:
y(t)=\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}(t) = \frac{4}{3}e^{-t} - \frac{1}{3}e^{-4t}.

Passo 10

Vamos conferir rapidamente as condições iniciais para ter confiança (checar sempre dá segurança na prova):
y(0)=\frac{4}{3}-\frac{1}{3}=1,
y'(t)=-\frac{4}{3}e^{-t} + \frac{4}{3}e^{-4t}\quad\Rightarrow\quad y'(0)=-\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=0.
As condições iniciais são satisfeitas, logo a solução está correta.

Resposta

y(t)=\frac{4}{3}e^{-t}-\frac{1}{3}e^{-4t}.

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