Use a transformada de Laplace para resolver as EDO’s abaixo:
;
Passo 1
O enunciado dá uma equação diferencial ordinária de segunda ordem com condições iniciais e pede a solução:
com
Devemos encontrar a função
que satisfaz a EDO e essas condições iniciais.
Passo 2
Vamos introduzir a transformada que vamos usar (cade a aula rapidinha e prática). A transformada de Laplace de uma função
é definida por
onde
é a variável complexa (na prática em EDOs trabalhamos com
real suficiente para convergência). A ideia é transformar a EDO (em
) numa equação algébrica em
, resolver para
e depois aplicar a transformada inversa para voltar a
.
Passo 3
Precisamos de duas propriedades fundamentais: linearidade e fórmulas para transformada de derivadas. Elas vêm de integrar por partes; aqui estão as fórmulas usadas (vou explicar cada termo):
onde
. Essas fórmulas dizem: transformar derivadas gera factores
multiplicando
e aparecem termos que envolvem as condições iniciais
e
. Elas são essenciais porque transformam a EDO em uma equação algébrica.
Passo 4
Agora aplicamos a transformada de Laplace a cada termo da EDO. Usando a linearidade,
Substituindo as fórmulas das derivadas:
Lembre-se:
e
. Vamos substituir esses valores.
Passo 5
Substituindo
e
na expressão do passo anterior:
Agrupando os termos que envolvem
e os termos constantes:
Isolando
:
Passo 6
Vamos factorizar o denominador para facilitar a inversa. O polinômio
fatoriza como
pois
e
. Então
Passo 7
Agora fazemos decomposição em frações parciais para escrever
em termos cujas inversas conhecemos. Procuramos constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade
Passo 8
Para achar
e
podemos usar o método de avaliar em raízes simples (é o jeito rápido e seguro). Primeiro faça
:
Agora faça
:
Então
Passo 9
Agora aplicamos a transformada inversa. Sabemos a transformada inversa básica:
Usando linearidade e essa fórmula:
Passo 10
Vamos conferir rapidamente as condições iniciais para ter confiança (checar sempre dá segurança na prova):
As condições iniciais são satisfeitas, logo a solução está correta.