Use a transformada de Laplace para resolver as EDO’s abaixo:
.
Passo 1
O enunciado pede que a EDO
seja resolvida e dá as condições iniciais
Portanto o que precisamos encontrar é a função
que satisfaz a equação diferencial e essas quatro condições iniciais. Todos os dados relevantes estão listados acima.
Passo 2
Agora vou usar a transformada de Laplace para transformar a EDO em uma equação algébrica. Primeiro, a definição e a propriedade que vamos usar:
A transformada de Laplace de uma função
é a função de
Para derivadas, existe uma fórmula conveniente (para
-ésima derivada):
Aqui
é a transformada de
e
são as condições iniciais. Essa fórmula nos permite transformar derivadas em polinômios em
multiplicando
e subtraindo termos que envolvem as condições iniciais.
Passo 3
Aplique
à EDO inteira. Chamando
, temos
Pela fórmula das derivadas,
Substituindo as condições iniciais dadas (
,
,
,
), obtemos
Também
. Portanto a equação transformada fica
Passo 4
Agrupando termos em
:
Assim
Agora fatoramos numerador e denominador para simplificar. O numerador é
O denominador é
Portanto
Podemos cancelar o fator comum
(essa simplificação é válida como expressão algébrica para
na região de interesse), ficando
Passo 5
Agora precisamos inverter a transformada de Laplace para voltar a
. Conhecemos a transformada-padrão
Aqui, comparando com
, temos
. Logo a transformada inversa é
Uma forma de ver isso é lembrar que
, então a função cuja transformada é
é
.
Passo 6
Vale a pena checar as condições iniciais rápidas para ganhar confiança: para
temos
São exatamente as condições iniciais fornecidas, então a solução encontrada está consistente.