Use a transformada de Laplace para resolver as EDO’s abaixo:
y^{(4)}-y=0, y(0)=1, y^{\prime}(0)=0, y^{\prime \prime}(0)=-1, y^{\prime \prime \prime}(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede que a EDO
y^{(4)}-y=0
seja resolvida e dá as condições iniciais
y(0)=1,\quad y'(0)=0,\quad y''(0)=-1,\quad y^{(3)}(0)=0.
Portanto o que precisamos encontrar é a função y(t) que satisfaz a equação diferencial e essas quatro condições iniciais. Todos os dados relevantes estão listados acima.

Passo 2

Agora vou usar a transformada de Laplace para transformar a EDO em uma equação algébrica. Primeiro, a definição e a propriedade que vamos usar:
A transformada de Laplace de uma função y(t) é a função de s
\mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}y(t)\,dt.
Para derivadas, existe uma fórmula conveniente (para n-ésima derivada):
\mathcal{L}\{y^{(n)}(t)\}=s^{n}Y(s)-s^{n-1}y(0)-s^{n-2}y'(0)-\cdots - y^{(n-1)}(0).
Aqui Y(s) é a transformada de y(t) e y^{(k)}(0) são as condições iniciais. Essa fórmula nos permite transformar derivadas em polinômios em s multiplicando Y(s) e subtraindo termos que envolvem as condições iniciais.

Passo 3

Aplique \mathcal{L}\{\cdot\} à EDO inteira. Chamando Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, temos
\mathcal{L}\{y^{(4)}\}-\mathcal{L}\{y\}=0.
Pela fórmula das derivadas,
\mathcal{L}\{y^{(4)}\}=s^{4}Y(s)-s^{3}y(0)-s^{2}y'(0)-s\,y''(0)-y^{(3)}(0).
Substituindo as condições iniciais dadas ( y(0)=1, y'(0)=0, y''(0)=-1, y^{(3)}(0)=0), obtemos
\mathcal{L}\{y^{(4)}\}=s^{4}Y(s)-s^{3}+s.
Também \mathcal{L}\{y\}=Y(s). Portanto a equação transformada fica
\big(s^{4}Y(s)-s^{3}+s\big)-Y(s)=0.

Passo 4

Agrupando termos em Y(s):
Y(s)\big(s^{4}-1\big)-s^{3}+s=0.
Assim
Y(s)=\frac{s^{3}-s}{s^{4}-1}.
Agora fatoramos numerador e denominador para simplificar. O numerador é
s^{3}-s=s(s^{2}-1)=s(s-1)(s+1).
O denominador é
s^{4}-1=(s^{2}-1)(s^{2}+1)=(s-1)(s+1)(s^{2}+1).
Portanto
Y(s)=\frac{s(s-1)(s+1)}{(s-1)(s+1)(s^{2}+1)}.
Podemos cancelar o fator comum (s-1)(s+1) (essa simplificação é válida como expressão algébrica para Y(s) na região de interesse), ficando
Y(s)=\frac{s}{s^{2}+1}.

Passo 5

Agora precisamos inverter a transformada de Laplace para voltar a y(t). Conhecemos a transformada-padrão
\mathcal{L}\{\cos(at)\}=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}.
Aqui, comparando com Y(s)=\dfrac{s}{s^{2}+1}, temos a=1. Logo a transformada inversa é
y(t)=\cos(t).
Uma forma de ver isso é lembrar que \mathcal{L}\{\cos(t)\}=s/(s^{2}+1), então a função cuja transformada é s/(s^{2}+1) é \cos t.

Passo 6

Vale a pena checar as condições iniciais rápidas para ganhar confiança: para y(t)=\cos t temos
y(0)=\cos 0=1,
y'(t)=-\sin t\implies y'(0)=0,
y''(t)=-\cos t\implies y''(0)=-1,
y^{(3)}(t)=\sin t\implies y^{(3)}(0)=0.
São exatamente as condições iniciais fornecidas, então a solução encontrada está consistente.

Resposta

y(t)=\cos t

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