Resolva:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s+1}{s^{2}(s+2)^{3}}\right\}

Passo 1

O que o exercício pede: calcular a transformada inversa de Laplace da função
\frac{s+1}{s^{2}(s+2)^{3}}.
Informações dadas e observações úteis: o numerador é s+1 e o denominador tem fatores s^{2} (polo de ordem 2 em s=0) e (s+2)^{3} (polo de ordem 3 em s=-2). A função é racional própria (grau do numerador menor que o do denominador), então podemos usar frações parciais e depois aplicar transformadas inversas termo a termo.

Passo 2

Ferramentas que vamos usar (explicação didática):
  • Linearidade da transformada inversa: a transformada inversa de uma soma é a soma das transformadas inversas.
  • Fórmulas básicas (para t\ge 0):
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s}\right\}=1, \qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}}\right\}=t,
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+a)^{n}}\right\}=\frac{t^{\,n-1}}{(n-1)!}e^{-a t}.
Aqui a é uma constante e n é inteiro positivo. Essas fórmulas são diretas da tabela de Laplace: por exemplo, \mathcal{L}\{t^{n-1}e^{-a t}\}=\frac{(n-1)!}{(s+a)^{n}}, daí a inversa acima.

Passo 3

Estratégia: decompor em frações parciais da forma
\frac{s+1}{s^{2}(s+2)^{3}}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^{2}}+\frac{C}{s+2}+\frac{D}{(s+2)^{2}}+\frac{E}{(s+2)^{3}}.
Explicação: para um fator s^{2} usamos termos \frac{A}{s}+\frac{B}{s^{2}}; para (s+2)^{3} usamos \frac{C}{s+2}+\frac{D}{(s+2)^{2}}+\frac{E}{(s+2)^{3}}.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por s^{2}(s+2)^{3} obtemos a igualdade polinomial
s+1 = A\,s\,(s+2)^{3} + B\,(s+2)^{3} + C\,s^{2}(s+2)^{2} + D\,s^{2}(s+2) + E\,s^{2}.
Isto é uma identidade em s; podemos obter os coeficientes A,B,C,D,E avaliando em pontos convenientes e igualando coeficientes.

Passo 5

Avaliação em s=0 (ponto conveniente) dá
0+1 = B\,(0+2)^{3} \quad\Rightarrow\quad 1 = 8B \quad\Rightarrow\quad B=\frac{1}{8}.
Avaliação em s=-2
-2+1 = E\,(-2)^{2} \quad\Rightarrow\quad -1 = 4E \quad\Rightarrow\quad E=-\frac{1}{4}.

Passo 6

Para encontrar os restantes coeficientes fazemos expansão e igualamos coeficientes de potências de s. Primeiro expandimos os termos relevantes (mostro só os coeficientes necessários):
A\,s(s+2)^{3}=A\big(s^{4}+6s^{3}+12s^{2}+8s\big),
B\,(s+2)^{3}=B\big(s^{3}+6s^{2}+12s+8\big),
C\,s^{2}(s+2)^{2}=C\big(s^{4}+4s^{3}+4s^{2}\big),
D\,s^{2}(s+2)=D\big(s^{3}+2s^{2}\big),
E\,s^{2}=E\,s^{2}.
Somando tudo e comparando com s+1 (que tem coeficientes 0 para s^{4},s^{3},s^{2}, coeficiente 1 para s e 1 para constante) obtemos o sistema de equações (coeficientes correspondentes):
\begin{cases} \text{coef. } s^{4}: & A + C = 0,\\[4pt] \text{coef. } s^{3}: & 6A + B + 4C + D = 0,\\[4pt] \text{coef. } s^{2}: & 12A + 6B + 4C + 2D + E = 0,\\[4pt] \text{coef. } s^{1}: & 8A + 12B = 1,\\[4pt] \text{coef. } s^{0}: & 8B = 1. \end{cases}]

Passo 7

Resolvendo o sistema passo a passo:
  • Da última equação já tínhamos B=\tfrac{1}{8} (confirmando o passo anterior).
  • Da equação do s^{1}:
8A + 12B = 1 \quad\Rightarrow\quad 8A + 12\cdot\frac{1}{8}=1 \quad\Rightarrow\quad 8A + \frac{3}{2}=1,
logo
8A = 1-\frac{3}{2} = -\frac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad A=-\frac{1}{16}.
  • Da equação do s^{4}: A+C=0 então
C=-A=\frac{1}{16}.
  • Da equação do s^{3}:
6A + B + 4C + D = 0.
Substituindo A,B,C:
6\left(-\tfrac{1}{16}\right)+\tfrac{1}{8}+4\left(\tfrac{1}{16}\right)+D=0.
Calculando: -\tfrac{6}{16}+\tfrac{2}{16}+\tfrac{4}{16}+D=0 que dá D=0.
  • Finalmente, a equação do s^{2} serve de checagem e fornece E; já tínhamos E=-\tfrac{1}{4} pela avaliação em s=-2, que satisfaz:
12A+6B+4C+2D+E = 0.

Passo 8

Portanto os coeficientes são
A=-\tfrac{1}{16},\quad B=\tfrac{1}{8},\quad C=\tfrac{1}{16},\quad D=0,\quad E=-\tfrac{1}{4}.
A decomposição em frações parciais fica
\frac{s+1}{s^{2}(s+2)^{3}} = -\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{s} + \frac{1}{8}\cdot\frac{1}{s^{2}} + \frac{1}{16}\cdot\frac{1}{s+2} - \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{(s+2)^{3}}.

Passo 9

Aplicando a transformada inversa termo a termo (usando as fórmulas do Passo 2):
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s}\right\}=1, então \mathcal{L}^{-1}\!\left\{-\dfrac{1}{16}\cdot\dfrac{1}{s}\right\}=-\dfrac{1}{16}.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s^{2}}\right\}=t, então \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{8}\cdot\dfrac{1}{s^{2}}\right\}=\dfrac{t}{8}.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s+2}\right\}=e^{-2t}, então \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{16}\cdot\dfrac{1}{s+2}\right\}=\dfrac{1}{16}e^{-2t}.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{(s+2)^{3}}\right\}=\dfrac{t^{2}}{2}e^{-2t} (porque \dfrac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^{-2t} com n=3 \dfrac{t^{2}}{2}e^{-2t}), então
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{(s+2)^{3}}\right\} = -\frac{1}{4}\cdot\frac{t^{2}}{2}e^{-2t} = -\frac{1}{8}t^{2}e^{-2t}.

Passo 10

Somando todos os termos no domínio do tempo obtemos a função:
f(t) = -\frac{1}{16} + \frac{t}{8} + \frac{1}{16}e^{-2t} - \frac{1}{8}t^{2}e^{-2t}.
Podemos também agrupar os termos com e^{-2t} se quiser:
f(t) = -\frac{1}{16} + \frac{t}{8} + \left(\frac{1}{16}-\frac{1}{8}t^{2}\right)e^{-2t}.

Resposta

\displaystyle -\frac{1}{16}+\frac{t}{8}+\frac{1}{16}e^{-2t}-\frac{1}{8}t^{2}e^{-2t}

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