O que o exercício pede: calcular a transformada inversa de Laplace da função
\frac{s+1}{s^{2}(s+2)^{3}}.
Informações dadas e observações úteis: o numerador é s+1 e o denominador tem fatores s^{2} (polo de ordem 2 em s=0) e (s+2)^{3} (polo de ordem 3 em s=-2). A função é racional própria (grau do numerador menor que o do denominador), então podemos usar frações parciais e depois aplicar transformadas inversas termo a termo.
Passo 2
Ferramentas que vamos usar (explicação didática):
Linearidade da transformada inversa: a transformada inversa de uma soma é a soma das transformadas inversas.
Aqui a é uma constante e n é inteiro positivo. Essas fórmulas são diretas da tabela de Laplace: por exemplo, \mathcal{L}\{t^{n-1}e^{-a t}\}=\frac{(n-1)!}{(s+a)^{n}}, daí a inversa acima.
Explicação: para um fator s^{2} usamos termos \frac{A}{s}+\frac{B}{s^{2}}; para (s+2)^{3} usamos \frac{C}{s+2}+\frac{D}{(s+2)^{2}}+\frac{E}{(s+2)^{3}}.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por s^{2}(s+2)^{3} obtemos a igualdade polinomial
-2+1 = E\,(-2)^{2} \quad\Rightarrow\quad -1 = 4E \quad\Rightarrow\quad E=-\frac{1}{4}.
Passo 6
Para encontrar os restantes coeficientes fazemos expansão e igualamos coeficientes de potências de s. Primeiro expandimos os termos relevantes (mostro só os coeficientes necessários):
A\,s(s+2)^{3}=A\big(s^{4}+6s^{3}+12s^{2}+8s\big),
B\,(s+2)^{3}=B\big(s^{3}+6s^{2}+12s+8\big),
C\,s^{2}(s+2)^{2}=C\big(s^{4}+4s^{3}+4s^{2}\big),
D\,s^{2}(s+2)=D\big(s^{3}+2s^{2}\big),
E\,s^{2}=E\,s^{2}.
Somando tudo e comparando com s+1 (que tem coeficientes 0 para s^{4},s^{3},s^{2}, coeficiente 1 para s e 1 para constante) obtemos o sistema de equações (coeficientes correspondentes):
Aplicando a transformada inversa termo a termo (usando as fórmulas do Passo 2):
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s}\right\}=1, então \mathcal{L}^{-1}\!\left\{-\dfrac{1}{16}\cdot\dfrac{1}{s}\right\}=-\dfrac{1}{16}.
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s^{2}}\right\}=t, então \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{8}\cdot\dfrac{1}{s^{2}}\right\}=\dfrac{t}{8}.
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s+2}\right\}=e^{-2t}, então \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{16}\cdot\dfrac{1}{s+2}\right\}=\dfrac{1}{16}e^{-2t}.
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{(s+2)^{3}}\right\}=\dfrac{t^{2}}{2}e^{-2t} (porque \dfrac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^{-2t} com n=3 dá \dfrac{t^{2}}{2}e^{-2t}), então