Use a transformada de Laplace para resolver as EDO’s abaixo:
;
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO com condição inicial:
Dados fornecidos:
Objetivo: encontrar a função
que satisfaz a EDO e a condição inicial. Não resolvemos nada ainda — só listei o que foi dado e o que se pede.
Passo 2
Introdução rápida e fórmulas úteis da Transformada de Laplace (com explicação):
A transformada de Laplace de uma função é definida por
A transformada de Laplace de uma função
onde
é a variável complexa da transformada e
é a variável temporal original. Denotamos
.
Propriedades que vamos usar (explicadas):
- Linearidade:
, útil para separar termos. - Derivada: para
,
Explicação curta do porquê: obtém-se aplicando integração por partes à integral
; o termo de contorno em
traz
e o restante gera
.
- Exponencial: para
,
pois
quando
.
Também usaremos a transformada inversa e a tabela básica:
Explicação: a segunda vem da propriedade
; para
dá
.
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace à EDO inteira. Tomando
em ambos os lados de
temos, usando linearidade e as propriedades acima,
Substituindo
e
e
, obtemos
Agora usamos a condição inicial
:
Juntando termos em
:
Passo 4
Resolver a equação algébrica por
. Isolando
:
Dividindo por
:
Interpretação:
já está escrita como soma de termos cuja transformada inversa conhecemos.
Passo 5
Aplicar a transformada inversa termo a termo (linearidade):
- Para
, a inversa é porque . - Para
, a inversa é pela propriedade mencionada (caso ).
Portanto
Passo 6
Verificação rápida (confirmação): calcule
a partir de
.
Derivando (produto),
Derivando (produto),
Somando
:
o que coincide com o lado direito da EDO. E
, satisfaz a condição inicial. Tudo batendo.