Use a transformada de Laplace para resolver as EDO’s abaixo:
y^{\prime}+4 y=e^{-4 t}, y(0)=2;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO com condição inicial:
y'(t)+4y(t)=e^{-4t},\qquad y(0)=2.
Dados fornecidos:
\text{(i) A equação diferencial: } y'(t)+4y(t)=e^{-4t}.çã
\text{(ii) Condição inicial: } y(0)=2.çã
Objetivo: encontrar a função y(t) que satisfaz a EDO e a condição inicial. Não resolvemos nada ainda — só listei o que foi dado e o que se pede.

Passo 2

Introdução rápida e fórmulas úteis da Transformada de Laplace (com explicação):
A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}f(t)\,dt,
onde s é a variável complexa da transformada e t é a variável temporal original. Denotamos Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s).
Propriedades que vamos usar (explicadas):
  • Linearidade: \mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=a\mathcal{L}\{f(t)\}+b\mathcal{L}\{g(t)\}, útil para separar termos.
  • Derivada: para y'(t),
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0).
Explicação curta do porquê: obtém-se aplicando integração por partes à integral \int_0^\infty e^{-st}y'(t)\,dt; o termo de contorno em t=0 traz y(0) e o restante gera sY(s).
  • Exponencial: para e^{at},
\mathcal{L}\{e^{a t}\}(s)=\frac{1}{s-a},
pois \int_0^\infty e^{-s t}e^{a t}dt=\int_0^\infty e^{-(s-a)t}dt=\dfrac{1}{s-a} quando \Re(s)>\Re(a).
Também usaremos a transformada inversa e a tabela básica:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-a}\right\}=e^{a t},\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s-a)^{2}}\right\}=t e^{a t}.
Explicação: a segunda vem da propriedade \mathcal{L}\{t^n e^{a t}\}=\dfrac{n!}{(s-a)^{n+1}}; para n=1 1/(s-a)^2.

Passo 3

Aplicar a transformada de Laplace à EDO inteira. Tomando \mathcal{L} em ambos os lados de
y'(t)+4y(t)=e^{-4t},
temos, usando linearidade e as propriedades acima,
\mathcal{L}\{y'\}(s)+4\mathcal{L}\{y\}(s)=\mathcal{L}\{e^{-4t}\}(s).
Substituindo \mathcal{L}\{y'\}(s)=sY(s)-y(0) e \mathcal{L}\{y\}(s)=Y(s) e \mathcal{L}\{e^{-4t}\}(s)=\dfrac{1}{s+4}, obtemos
sY(s)-y(0)+4Y(s)=\frac{1}{s+4}.
Agora usamos a condição inicial y(0)=2:
sY(s)-2+4Y(s)=\frac{1}{s+4}.
Juntando termos em Y(s):
(s+4)Y(s)-2=\frac{1}{s+4}.

Passo 4

Resolver a equação algébrica por Y(s). Isolando Y(s):
(s+4)Y(s)=2+\frac{1}{s+4}.
Dividindo por s+4:
Y(s)=\frac{2}{s+4}+\frac{1}{(s+4)^2}.
Interpretação: Y(s) já está escrita como soma de termos cuja transformada inversa conhecemos.

Passo 5

Aplicar a transformada inversa termo a termo (linearidade):
  • Para \dfrac{2}{s+4}, a inversa é 2 e^{-4t} porque \mathcal{L}^{-1}\{1/(s+4)\}=e^{-4t}.
  • Para \dfrac{1}{(s+4)^2}, a inversa é t e^{-4t} pela propriedade mencionada (caso n=1).
Portanto
y(t)=2e^{-4t}+t e^{-4t}=(2+t)e^{-4t}.

Passo 6

Verificação rápida (confirmação): calcule y'(t) a partir de y(t)=(2+t)e^{-4t}.
Derivando (produto),
y'(t)=1\cdot e^{-4t}+(2+t)(-4)e^{-4t}=e^{-4t}-4(2+t)e^{-4t}.
Somando 4y(t):
y'(t)+4y(t)=\bigl(e^{-4t}-4(2+t)e^{-4t}\bigr)+4(2+t)e^{-4t}=e^{-4t},
o que coincide com o lado direito da EDO. E y(0)=(2+0)e^{0}=2, satisfaz a condição inicial. Tudo batendo.

Resposta

(2+t)e^{-4t}

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