Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inic dado.
y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=t^{2} e^{4 t}, y(0)=1, y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y'' - 6y' + 9y = t^2 e^{4t},\quad y(0)=1,\;y'(0)=1
O conteúdo é método da transformada de Laplace para EDOs lineares com coeficientes constantes. Vamos usar as fórmulas \mathcal L\{y'\}=sY(s)-y(0), \mathcal L\{y''\}=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)
e \mathcal L\{t^n e^{at}\}=\frac{n!}{(s-a)^{n+1}}.

Passo 2

Aplicando \mathcal L em ambos os lados da EDO:
\mathcal L\{y''\} -6\mathcal L\{y'\} +9\mathcal L\{y\} =\mathcal L\{t^2 e^{4t}\}.
Substituindo as fórmulas de derivadas e a transformada do lado direito:
\bigl(s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)\bigr) -6\bigl(sY(s)-y(0)\bigr) +9Y(s) =\frac{2}{(s-4)^3}.

Passo 3

Usando y(0)=1 e y'(0)=1 e agrupando em Y(s):
\bigl(s^2-6s+9\bigr)Y(s)-s+5=\frac{2}{(s-4)^3},
portanto
(s-3)^2\,Y(s) =\frac{2}{(s-4)^3}+s-5 \quad\Longrightarrow\quad Y(s) =\frac{s-5}{(s-3)^2} +\frac{2}{(s-3)^2\,(s-4)^3}.

Passo 4

Decompondo a parte \displaystyle\frac{s-5}{(s-3)^2}
em frações simples
\frac{s-5}{(s-3)^2} =\frac{A}{s-3}+\frac{B}{(s-3)^2},
temos s-5=A(s-3)+B. Comparando coeficientes, A=1 e B=-2. Assim
\frac{s-5}{(s-3)^2} =\frac{1}{s-3}-\frac{2}{(s-3)^2}.

Passo 5

Agora decompondo \displaystyle\frac{2}{(s-3)^2(s-4)^3} =\frac{A}{s-3}+\frac{B}{(s-3)^2} +\frac{C}{s-4}+\frac{D}{(s-4)^2}+\frac{E}{(s-4)^3},
usando s=3,s=4 e comparação de coeficientes, encontra-se
A=-6,\\ B=-2,\\ C=6,\\ D=-4,\\ E=2.

Passo 6

Tomando a transformada inversa termo a termo: \mathcal L^{-1}\{1/(s-3)\}=e^{3t}, \mathcal L^{-1}\{1/(s-3)^2\}=t\,e^{3t}, \mathcal L^{-1}\{1/(s-4)\}=e^{4t}, \mathcal L^{-1}\{1/(s-4)^2\}=t\,e^{4t}, \mathcal L^{-1}\{1/(s-4)^3\}=t^2e^{4t}/2.
Somando todas as parcelas (parte homogênea e particular) e simplificando obtemos
y(t) =-5e^{3t}-4t\,e^{3t} +6e^{4t}-4t\,e^{4t}+t^2e^{4t} \;=\; (-5-4t)e^{3t}+(t^2-4t+6)e^{4t}.

Resposta

y(t)=(-5-4t)e^{3t}+(t^2-4t+6)e^{4t}.

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