Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inic dado.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
O conteúdo é método da transformada de Laplace para EDOs lineares com coeficientes constantes. Vamos usar as fórmulas
,
e .
e
Passo 2
Aplicando
em ambos os lados da EDO:
Substituindo as fórmulas de derivadas e a transformada do lado direito:
Passo 3
Usando
e
e agrupando em
:
portanto
Passo 4
Decompondo a parte
em frações simples
em frações simples
temos
. Comparando coeficientes,
e
. Assim
Passo 5
Agora decompondo
,
usando e comparação de coeficientes, encontra-se
usando
Passo 6
Tomando a transformada inversa termo a termo:
,
,
,
,
.
Somando todas as parcelas (parte homogênea e particular) e simplificando obtemos
Somando todas as parcelas (parte homogênea e particular) e simplificando obtemos