Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inic dado.
y^{\prime \prime}+16 y=\cos 6 t, y(0)=2, y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + 16\,y = \cos 6t,\quad y(0)=2,\;y'(0)=0
usando a transformada de Laplace. Vamos precisar das propriedades
  1. \mathcal L\{y''\}(s)=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0)
  2. \mathcal L\{\cos at\}(s)=\tfrac{s}{s^2+a^2}
    e depois inverter a transformada.

Passo 2

Aplicando a Laplace em ambos os lados e notando Y(s)=\mathcal L\{y(t)\}(s), obtemos
\mathcal L\{y''\}(s)+16\,\mathcal L\{y\}(s) =\mathcal L\{\cos6t\}(s)
ou seja,
\bigl(s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\bigr)+16\,Y(s) =\frac{s}{s^2+36}.
Substituindo y(0)=2 e y'(0)=0
(s^2+16)\,Y(s)-2s=\frac{s}{s^2+36}.

Passo 3

Isolando Y(s), temos
Y(s) =\frac{2s}{s^2+16}+\frac{s}{(s^2+16)(s^2+36)}.

Passo 4

Para inverter o segundo termo, fazemos frações parciais:
\frac{s}{(s^2+16)(s^2+36)} = A\,\frac{s}{s^2+16}+B\,\frac{s}{s^2+36}.
Multiplicando por (s^2+16)(s^2+36) obtemos
s = A\,s\,(s^2+36)+B\,s\,(s^2+16) \;\;\Longrightarrow\;\; 1=(A+B)s^2+36A+16B.
Comparando coeficientes segue
A+B=0, \quad 36A+16B=1 \;\;\Longrightarrow\;\; A=\tfrac1{20},\;B=-\tfrac1{20}.

Passo 5

Então
Y(s) =\frac{2s}{s^2+16} +\frac1{20}\,\frac{s}{s^2+16} -\frac1{20}\,\frac{s}{s^2+36} =\frac{41}{20}\,\frac{s}{s^2+16}-\frac1{20}\,\frac{s}{s^2+36}.

Passo 6

Aplicando a transformada inversa \mathcal L^{-1}\{s/(s^2+a^2)\}=\cos at, vem
y(t) =\frac{41}{20}\cos4t-\frac{1}{20}\cos6t.

Resposta

y(t)=\frac{41}{20}\cos4t \;-\;\frac{1}{20}\cos6t.

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