Use a transformada de Laplace para encontrar y(t) :
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=0, y(0)=2, y^{\prime}(0)=4,

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 2y' + y = 0,
sujeita às condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=4.
O conteúdo que vamos usar é a transformada de Laplace, aplicando-a em cada termo da EDO para obter uma equação algébrica em Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados de
y'' + 2y' + y = 0.
Usando \mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0) e \mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0), obtemos
\bigl[s^2Y(s)-s\cdot2-4\bigr] \;+\;2\bigl[sY(s)-2\bigr]\;+\;Y(s)\;=\;0.

Passo 3

Agrupando os termos em Y(s) e os termos constantes, vem
(s^2+2s+1)\,Y(s)\;-\;(2s+4+4)\;=\;0 \quad\Longrightarrow\quad (s+1)^2\,Y(s)\;-\;(2s+8)\;=\;0.
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Y(s)\;=\;\frac{2s+8}{(s+1)^2}\;=\;2\,\frac{s+4}{(s+1)^2}.

Passo 4

Para inverter Y(s), escrevemos
\frac{s+4}{(s+1)^2} \;=\;\frac{(s+1)+3}{(s+1)^2} \;=\;\frac{1}{s+1}+\frac{3}{(s+1)^2}.
Multiplicando por 2,
Y(s)=2\Bigl[\frac{1}{s+1}+\frac{3}{(s+1)^2}\Bigr].
Sabendo que \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s+1}\}=e^{-t} e \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{(s+1)^2}\}=t\,e^{-t}, obtemos
y(t)=2\,e^{-t}+6\,t\,e^{-t}.

Resposta

y(t)=(2+6t)\,e^{-t}.

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