Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inic dado.
y^{\prime}-3 y=e^{6 t}, y(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
y'(t)-3\,y(t)=e^{6t},\quad y(0)=2
usando a transformada de Laplace.
Conteúdo: transformada de Laplace de derivada, de exponencial e método de frações parciais para inverter transformadas.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Seja Y(s)=\mathcal L\{y(t)\}. Temos
\mathcal L\{y'\}-3\,\mathcal L\{y\}=\mathcal L\{e^{6t}\}
e sabemos que \mathcal L\{y'\}=s\,Y(s)-y(0)=s\,Y(s)-2 e \mathcal L\{e^{6t}\}=\frac{1}{s-6}. Logo
s\,Y(s)-2-3\,Y(s)=\frac{1}{s-6}.

Passo 3

Isolando Y(s):
(s-3)\,Y(s)=\frac{1}{s-6}+2 \quad\Longrightarrow\quad Y(s)=\frac{1}{(s-3)(s-6)}+\frac{2}{s-3}.
Fazemos frações parciais em \frac{1}{(s-3)(s-6)}:
\frac{1}{(s-3)(s-6)}=\frac{A}{s-3}+\frac{B}{s-6},
com A(s-6)+B(s-3)=1. Para s=3 A\cdot(-3)=1\implies A=-\tfrac13, e para s=6 B\cdot3=1\implies B=\tfrac13. Assim
Y(s)=-\frac{1}{3}\,\frac{1}{s-3}+\frac{1}{3}\,\frac{1}{s-6}+\frac{2}{s-3} =\frac{5}{3}\,\frac{1}{s-3}+\frac{1}{3}\,\frac{1}{s-6}.

Passo 4

Invertemos a transformada termo a termo, usando \mathcal L^{-1}\{\tfrac{1}{s-a}\}=e^{a t}:
y(t)=\frac{5}{3}\,e^{3t}+\frac{1}{3}\,e^{6t}.

Resposta

y(t)=\frac{5}{3}\,e^{3t}+\frac{1}{3}\,e^{6t}.

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