Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=0 ; \quad y(0)=2, \quad y^{\prime}(0)=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + 2y' + 5y = 0, \quad y(0)=2,\quad y'(0)=-1
usando a transformada de Laplace. Vamos usar as propriedades lineares da transformada e as fórmulas
\mathcal{L}\{y'(t)\} = sY(s) - y(0), \quad \mathcal{L}\{y''(t)\} = s^2Y(s) - s\,y(0) - y'(0),
onde Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial homogênea, obtemos
\mathcal{L}\{y''\} + 2\,\mathcal{L}\{y'\} + 5\,\mathcal{L}\{y\} = 0.
Usando as fórmulas para \mathcal{L}\{y''\} e \mathcal{L}\{y'\}, fica
\bigl(s^2Y(s) - s\,y(0) - y'(0)\bigr) + 2\bigl(sY(s) - y(0)\bigr) + 5\,Y(s) = 0.

Passo 3

Substituindo y(0)=2 e y'(0)=-1 na expressão anterior, tem-se
\bigl(s^2Y(s) - 2s + 1\bigr) + \bigl(2sY(s) - 4\bigr) + 5Y(s) = 0.
Agrupando os termos em Y(s) e os termos constantes,
\bigl(s^2 + 2s + 5\bigr)Y(s) \;-\;(2s+3) = 0 \quad\Longrightarrow\quad Y(s) = \frac{2s+3}{s^2+2s+5}.

Passo 4

Para inverter a transformada, escrevemos o denominador como quadrado perfeito mais constante:
s^2+2s+5 = (s+1)^2 + 2^2.
Reescrevendo o numerador em função de (s+1):
2s+3 = 2(s+1) + 1,
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Y(s) = \frac{2(s+1)}{(s+1)^2+2^2} \;+\; \frac{1}{(s+1)^2+2^2}.

Passo 5

Reconhecendo as transformadas conhecidas
\mathcal{L}\bigl\{e^{-t}\cos(2t)\bigr\} = \frac{s+1}{(s+1)^2+2^2}, \quad \mathcal{L}\bigl\{e^{-t}\sin(2t)\bigr\} = \frac{2}{(s+1)^2+2^2},
temos
Y(s) = 2\;\frac{s+1}{(s+1)^2+2^2} + \frac{1}{(s+1)^2+2^2} = 2\,\mathcal{L}\{e^{-t}\cos(2t)\} + \tfrac12\,\mathcal{L}\{e^{-t}\sin(2t)\}.
Aplicando a transformada inversa:
y(t) = 2\,e^{-t}\cos(2t) \;+\;\tfrac12\,e^{-t}\sin(2t).

Resposta

y(t) = 2\,e^{-t}\cos(2t) + \tfrac{1}{2}\,e^{-t}\sin(2t).

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