Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
usando a transformada de Laplace. Vamos usar as propriedades lineares da transformada e as fórmulas
onde
.
Passo 2
Aplicando a transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial homogênea, obtemos
Usando as fórmulas para
e
, fica
Passo 3
Substituindo
e
na expressão anterior, tem-se
Agrupando os termos em
e os termos constantes,
Passo 4
Para inverter a transformada, escrevemos o denominador como quadrado perfeito mais constante:
Reescrevendo o numerador em função de
:
logo
Passo 5
Reconhecendo as transformadas conhecidas
temos
Aplicando a transformada inversa: