Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+2 y=e^{-t} ; \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y'' - 2y' + 2y = e^{-t},\qquad y(0)=0,\quad y'(0)=1
e pede y(t) usando a transformada de Laplace. Vamos precisar da propriedade
\mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0), de tabelas de transformadas padrão e da técnica de frações parciais.

Passo 2

Tomamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Denotando Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, obtemos
\mathcal{L}\{y''\}-2\,\mathcal{L}\{y'\}+2\,\mathcal{L}\{y\} =\mathcal{L}\{e^{-t}\}.
Usando condições iniciais:
(s^2Y(s)-s\cdot0-1)\;-\;2\,(sY(s)-0)\;+\;2\,Y(s) =\frac{1}{s+1}.
Logo
\bigl(s^2-2s+2\bigr)Y(s)-1=\frac{1}{s+1}.

Passo 3

Isolando Y(s):
\bigl(s^2-2s+2\bigr)Y(s) =1+\frac{1}{s+1} =\frac{s+1+1}{s+1} =\frac{s+2}{s+1},
Y(s)=\frac{s+2}{(s+1)(s^2-2s+2)}.

Passo 4

Fazemos frações parciais com
s^2-2s+2=(s-1)^2+1.
Escrevemos
\frac{s+2}{(s+1)\bigl((s-1)^2+1\bigr)} =\frac{A}{s+1}+\frac{B(s-1)+C}{(s-1)^2+1}.
Multiplicando em cruz e igualando coeficientes, resolve-se
A=\frac{1}{5},\quad B=-\frac{1}{5},\quad C=\frac{7}{5}.
Portanto
Y(s) =\frac{1/5}{s+1} -\frac{1/5\,(s-1)}{(s-1)^2+1} +\frac{7/5}{(s-1)^2+1}.

Passo 5

Usamos as transformadas inversas:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{s+1}\Bigr\}=e^{-t},\quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{s-1}{(s-1)^2+1}\Bigr\}=e^{t}\cos t,\quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{(s-1)^2+1}\Bigr\}=e^{t}\sin t.
Logo
y(t) =\frac{1}{5}e^{-t} -\frac{1}{5}\,e^{t}\cos t +\frac{7}{5}\,e^{t}\sin t.

Resposta

y(t) =\frac{1}{5}e^{-t} -\frac{1}{5}e^{t}\cos t +\frac{7}{5}e^{t}\sin t.

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