O que se pede: encontrar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}, função de t para t\ge0.
Passo 2
Estratégia escolhida (apenas identificação aqui): como o denominador fatoriza em um fator linear s e um quadrático irreducível s^{2}+4, vamos decompor F(s) em frações parciais do tipo
\frac{A}{s}+\frac{B s + C}{s^{2}+4},
encontrar A,B,C e então usar transformadas inversas conhecidas termo a termo.
Passo 3
Explicando por que usar essa forma na decomposição: para um fator linear distinto s usamos um termo \dfrac{A}{s} (constante no numerador). Para um fator quadrático irreduzível s^{2}+4 usamos um numerador linear B s + C. Assim supomos
\frac{8 s^{2}-4 s+12}{s\left(s^{2}+4\right)}=\frac{A}{s}+\frac{B s + C}{s^{2}+4}.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por s\left(s^{2}+4\right) para eliminar denominadores e igualar polinômios:
8 s^{2}-4 s+12 = A\left(s^{2}+4\right) + (B s + C)s.
Expandindo o lado direito e coletando termos:
A s^{2} + 4A + B s^{2} + C s = (A+B) s^{2} + C s + 4A.
Comparando coeficientes de potências de s nos dois lados obtemos o sistema:
\begin{cases} \text{coef. }s^{2}: & A + B = 8,\\[4pt] \text{coef. }s^{1}: & C = -4,\\[4pt] \text{coef. }s^{0}: & 4A = 12. \end{cases}]
Passo 5
Resolvendo o sistema passo a passo:
Da terceira equação 4A=12 segue A=3.
Usando A=3 na primeira equação A+B=8 obtemos B=8-3=5.
Da segunda equação temos C=-4.
Portanto os coeficientes são A=3, B=5, C=-4.
Passo 6
Escrevendo a decomposição final com esses valores:
\frac{8 s^{2}-4 s+12}{s\left(s^{2}+4\right)}=\frac{3}{s}+\frac{5 s -4}{s^{2}+4}.
Agora vamos inverter cada parcela usando transformadas padrão. Lembrete das transformadas diretas (e suas inversas):
Aqui o termo quadrático tem \omega^{2}=4, portanto \omega=2.
Passo 7
Aplicando a transformada inversa termo a termo:
Para \dfrac{3}{s}: \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{3}{s}\right\}=3\cdot 1=3.
Para \dfrac{5s}{s^{2}+4}: como \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{s}{s^{2}+4}\right\}=\cos(2t), segue \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{5s}{s^{2}+4}\right\}=5\cos(2t).
Para \dfrac{-4}{s^{2}+4}: como \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s^{2}+4}\right\}=\dfrac{1}{2}\sin(2t) (porque \mathcal{L}\{\sin(2t)\}=2/(s^{2}+4)), segue \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{-4}{s^{2}+4}\right\}=-4\cdot\dfrac{1}{2}\sin(2t)=-2\sin(2t).
Passo 8
Somando os três resultados obtém-se a função tempo: