Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe (justifique!):
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} x \sin \left(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede o limite da função de duas variáveis
f(x,y)=x \sin\!\Bigl(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\Bigr)
quando (x,y)\to(0,0). O conteúdo é cálculo de limite em várias variáveis e vamos usar o Teorema do Confronto (ou da Polícia).

Passo 2

Sabemos que para todo argumento real \theta vale
-1 \le \sin(\theta)\le 1.
Tomando \theta = \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, temos
-1 \le \sin\!\Bigl(\tfrac{1}{x^{2}+y^{2}}\Bigr)\le 1.
Multiplicando por x e observando valores positivos e negativos, obtemos
-|x|\;\le\;x \sin\!\Bigl(\tfrac{1}{x^{2}+y^{2}}\Bigr)\;\le\;|x|.

Passo 3

Quando (x,y)\to(0,0), então |x|\to0. Logo as funções
-|x| e |x| tendem a 0. Pelo Teorema do Confronto, x\sin(1/(x^2+y^2)) também tende a 0.

Resposta

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