Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado:
Informações relevantes fornecidas:
- A equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
- Condições iniciais em
: e .
O objetivo final é encontrar a soluçãopara .
Passo 2
Definição e propriedades que vamos usar (aulas rápidas):
- A transformada de Laplace de uma função
é definida por
onde
é a variável complexa da transformada.
- Propriedade linear:
. - Transformadas das derivadas (muito úteis para problemas com condições iniciais). Se
, então
Nessas fórmulas,
e
são as condições iniciais conhecidas.
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace à equação diferencial inteira. Seja
. Tomando transformada dos termos:
Substituindo as fórmulas das derivadas:
Agora substituo as condições iniciais
e
:
Passo 4
Agrupo os termos que contêm
e os termos constantes:
- Coeficiente de
: . - Termos constantes:
.
Logo a equação fica
Simplificando os constantes
, obtemos
Isolando
:
Passo 5
Para inverter a transformada, é conveniente completar o quadrado no denominador. Faço:
Reescrevo o numerador em termos de
. Note que
Portanto
Passo 6
Usar transformadas conhecidas (lembrando o que significam as letras):
- Para
e ,
Aqui
e
. Comparando com
:
e
Observe o sinal negativo no segundo termo de
.
Passo 7
Inverto termo a termo usando as correspondências:
Posso fatorar
se quiser:
Passo 8
Verificação rápida (confirmação de consistência com as condições iniciais):
- Em
: , bate com a condição. - Derivando e avaliando em
(opcional aqui) também retorna , então as condições iniciais estão satisfeitas.