Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+4 y=0, \quad y(0)=2, y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado:
y''-2y'+4y=0,\qquad y(0)=2,\qquad y'(0)=1.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • Condições iniciais em t=0: y(0)=2 e y'(0)=1.
    O objetivo final é encontrar a solução y(t) para t\ge0.

Passo 2

Definição e propriedades que vamos usar (aulas rápidas):
  • A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt,
onde s é a variável complexa da transformada.
  • Propriedade linear: \mathcal{L}\{af+bg\}=a\mathcal{L}\{f\}+b\mathcal{L}\{g\}.
  • Transformadas das derivadas (muito úteis para problemas com condições iniciais). Se Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, então
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Nessas fórmulas, y(0) e y'(0) são as condições iniciais conhecidas.

Passo 3

Aplicar a transformada de Laplace à equação diferencial inteira. Seja Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}. Tomando transformada dos termos:
\mathcal{L}\{y''\}-2\mathcal{L}\{y'\}+4\mathcal{L}\{y\}=0.
Substituindo as fórmulas das derivadas:
\bigl(s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\bigr)-2\bigl(sY(s)-y(0)\bigr)+4Y(s)=0.
Agora substituo as condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=1:
\bigl(s^{2}Y(s)-2s-1\bigr)-2\bigl(sY(s)-2\bigr)+4Y(s)=0.

Passo 4

Agrupo os termos que contêm Y(s) e os termos constantes:
  • Coeficiente de Y(s): s^{2}-2s+4.
  • Termos constantes: -2s-1 +4.
    Logo a equação fica
\bigl(s^{2}-2s+4\bigr)Y(s)+(-2s-1+4)=0.
Simplificando os constantes -2s-1+4=-2s+3, obtemos
\bigl(s^{2}-2s+4\bigr)Y(s)-2s+3=0.
Isolando Y(s):
Y(s)=\frac{2s-3}{s^{2}-2s+4}.

Passo 5

Para inverter a transformada, é conveniente completar o quadrado no denominador. Faço:
s^{2}-2s+4=(s-1)^{2}+3.
Reescrevo o numerador em termos de s-1. Note que
2s-3=2(s-1)-1.
Portanto
Y(s)=\frac{2(s-1)-1}{(s-1)^{2}+(\sqrt{3})^{2}} =\frac{2(s-1)}{(s-1)^{2}+(\sqrt{3})^{2}}-\frac{1}{(s-1)^{2}+(\sqrt{3})^{2}}.

Passo 6

Usar transformadas conhecidas (lembrando o que significam as letras):
  • Para a e b>0,
\mathcal{L}\{e^{at}\cos(bt)\}=\frac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}}, \qquad \mathcal{L}\{e^{at}\sin(bt)\}=\frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}.
Aqui a=1 e b=\sqrt{3}. Comparando com Y(s):
\frac{2(s-1)}{(s-1)^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=2\cdot\frac{s-1}{(s-1)^{2}+(\sqrt{3})^{2}} =2\,\mathcal{L}\{e^{t}\cos(\sqrt{3}\,t)\},
e
\frac{1}{(s-1)^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{(s-1)^{2}+(\sqrt{3})^{2}} =\frac{1}{\sqrt{3}}\,\mathcal{L}\{e^{t}\sin(\sqrt{3}\,t)\}.
Observe o sinal negativo no segundo termo de Y(s).

Passo 7

Inverto termo a termo usando as correspondências:
y(t)=2\,e^{t}\cos(\sqrt{3}\,t)-\frac{1}{\sqrt{3}}\,e^{t}\sin(\sqrt{3}\,t).
Posso fatorar e^{t} se quiser:
y(t)=e^{t}\!\left(2\cos(\sqrt{3}\,t)-\frac{1}{\sqrt{3}}\sin(\sqrt{3}\,t)\right).

Passo 8

Verificação rápida (confirmação de consistência com as condições iniciais):
  • Em t=0: y(0)=e^{0}(2\cdot1- \tfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot0)=2, bate com a condição.
  • Derivando e avaliando em 0 (opcional aqui) também retorna y'(0)=1, então as condições iniciais estão satisfeitas.

Resposta

y(t)=e^{t}\!\left(2\cos\bigl(\sqrt{3}\,t\bigr)-\frac{1}{\sqrt{3}}\sin\bigl(\sqrt{3}\,t\bigr)\right)

Exercícios relacionados