Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
y^{(4)}-y=0, \quad y(0)=0, y^{\prime}(0)=1, y^{\prime \prime}(0)=0, y^{\prime \prime \prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y^{(4)} - y = 0,
com as condições iniciais
y(0)=0,\quad y'(0)=1,\quad y''(0)=0,\quad y^{(3)}(0)=0.
Ou seja, precisamos encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial de quarta ordem e que assume esses valores em t=0.

Passo 2

Vou usar a transformada de Laplace. Primeiro, umas definições e propriedades importantes (explicadas de forma bem prática).
  • A transformada de Laplace de uma função y(t) é a função Y(s) definida por
Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}=\int_{0}^{\infty} e^{-st}y(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa (na prática, tratamos s como um parâmetro real positivo para a transformação).
  • A propriedade que vamos usar para derivadas é:
\mathcal{L}\{y^{(n)}(t)\}=s^{n}Y(s)-s^{n-1}y(0)-s^{n-2}y'(0)-\cdots - y^{(n-1)}(0).
Aqui cada y^{(k)}(0) é a derivada de ordem k avaliada em t=0. Essa fórmula transforma derivadas no tempo em polinômios em s multiplicando Y(s) e subtraindo termos que envolvem as condições iniciais — isso é o que torna a Laplace poderosa para PVI.

Passo 3

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação \,y^{(4)}-y=0, obtemos
\mathcal{L}\{y^{(4)}\}-\mathcal{L}\{y\}=0.
Usando a fórmula das derivadas e escrevendo Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, temos
\bigl(s^{4}Y(s)-s^{3}y(0)-s^{2}y'(0)-s\,y''(0)-y^{(3)}(0)\bigr)-Y(s)=0.
Agora substituo as condições iniciais y(0)=0,\;y'(0)=1,\;y''(0)=0,\;y^{(3)}(0)=0. Isso dá
\bigl(s^{4}Y(s)-s^{2}\bigr)-Y(s)=0.

Passo 4

Agrupando os termos com Y(s) obtemos uma equação algébrica:
\bigl(s^{4}-1\bigr)Y(s)=s^{2}.
Isolando Y(s),
Y(s)=\frac{s^{2}}{s^{4}-1}.
Note que s^{4}-1 pode ser fatorado para facilitar a inversão:
s^{4}-1=(s^{2}-1)(s^{2}+1)=(s-1)(s+1)(s^{2}+1).

Passo 5

Agora preciso fazer a decomposição em frações parciais de
Y(s)=\frac{s^{2}}{(s-1)(s+1)(s^{2}+1)}.
Vou assumir uma forma de decomposição
\frac{s^{2}}{(s-1)(s+1)(s^{2}+1)}=\frac{A}{s-1}+\frac{B}{s+1}+\frac{Cs+D}{s^{2}+1},
onde A,B,C,D são constantes a determinar.
Multiplicando ambos os lados por (s-1)(s+1)(s^{2}+1) obtemos a identidade polinomial
s^{2}=A(s+1)(s^{2}+1)+B(s-1)(s^{2}+1)+(Cs+D)(s-1)(s+1).

Passo 6

Determino A e B facilmente avaliando em s=1 e s=-1.
  • Para s=1:
1^{2}=A(1+1)(1^{2}+1)=A\cdot 2\cdot 2=4A \quad\Rightarrow\quad A=\tfrac{1}{4}.
  • Para s=-1:
(-1)^{2}=B(-1-1)((-1)^{2}+1)=B\cdot(-2)\cdot 2=-4B \quad\Rightarrow\quad B=-\tfrac{1}{4}.

Passo 7

Agora encontro [C) e D. Expando os termos da direita e igualo coeficientes dos mesmos graus de s.
Expansão (mostrando os coeficientes):
A(s^{3}+s^{2}+s+1)+B(s^{3}-s^{2}+s-1)+(Cs+D)(s^{2}-1).
Organizando por potências de s resulta nas equações para os coeficientes (comparando com s^{2} do lado esquerdo, que tem coeficientes 0 em s^{3},s^{1},s^{0} e 1 em s^{2}):
\begin{cases} \text{coef. }s^{3}: & A+B+C=0,\\[4pt] \text{coef. }s^{2}: & A-B+D=1,\\[4pt] \text{coef. }s^{1}: & A+B-C=0,\\[4pt] \text{coef. }s^{0}: & A-B-D=0. \end{cases}
Substituindo A=\tfrac{1}{4}\] e \(B=-\tfrac{1}{4} nas equações, temos:
  • Da primeira: \tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{4}+C=0\Rightarrow C=0.
  • Da segunda: \tfrac{1}{4}-(-\tfrac{1}{4})+D=1\Rightarrow \tfrac{1}{2}+D=1\Rightarrow D=\tfrac{1}{2}.
As outras equações ficam satisfeitas com esses valores.]

Passo 8

Portanto a decomposição fica
Y(s)=\frac{1/4}{s-1}-\frac{1/4}{s+1}+\frac{1/2}{s^{2}+1}.
Agora aplico a transformada inversa termo a termo. Lembrando que
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-a}\right\}=e^{at},\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s}{s^{2}+1}\right\}=\cos t,\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}+1}\right\}=\sin t.
No nosso caso o termo \dfrac{1/2}{s^{2}+1} \tfrac{1}{2}\sin t. Assim
y(t)=\frac{1}{4}e^{t}-\frac{1}{4}e^{-t}+\frac{1}{2}\sin t.

Passo 9

Podemos escrever a solução em uma forma compacta usando a função seno hiperbólico \operatorname{sinh}, já que \operatorname{sinh} t=\dfrac{e^{t}-e^{-t}}{2}. Assim
y(t)=\frac{1}{2}\operatorname{sinh} t+\frac{1}{2}\sin t=\frac{1}{2}\bigl(\operatorname{sinh} t+\sin t\bigr).
Verificação rápida dos iniciais (só para dar confiança): y(0)=\tfrac{1}{2}(0+0)=0 e
y'(t)=\frac{1}{2}\bigl(\operatorname{cosh} t+\cos t\bigr)\Rightarrow y'(0)=\tfrac{1}{2}(1+1)=1,
coincidindo com as condições dadas.

Resposta

y(t)=\frac{1}{2}\bigl(\operatorname{sinh} t+\sin t\bigr)

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