Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado. y^{(4)}-y=0, \quad y(0)=0, y^{\prime}(0)=1, y^{\prime \prime}(0)=0, y^{\prime \prime \prime}(0)=0
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
Aqui cada y^{(k)}(0) é a derivada de ordem k avaliada em t=0. Essa fórmula transforma derivadas no tempo em polinômios em s multiplicando Y(s) e subtraindo termos que envolvem as condições iniciais — isso é o que torna a Laplace poderosa para PVI.
Passo 3
Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação \,y^{(4)}-y=0, obtemos
\mathcal{L}\{y^{(4)}\}-\mathcal{L}\{y\}=0.
Usando a fórmula das derivadas e escrevendo Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, temos
Organizando por potências de s resulta nas equações para os coeficientes (comparando com s^{2} do lado esquerdo, que tem coeficientes 0 em s^{3},s^{1},s^{0} e 1 em s^{2}):
Agora aplico a transformada inversa termo a termo. Lembrando que
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-a}\right\}=e^{at},\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s}{s^{2}+1}\right\}=\cos t,\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}+1}\right\}=\sin t.
No nosso caso o termo \dfrac{1/2}{s^{2}+1} dá \tfrac{1}{2}\sin t. Assim
y(t)=\frac{1}{4}e^{t}-\frac{1}{4}e^{-t}+\frac{1}{2}\sin t.
Passo 9
Podemos escrever a solução em uma forma compacta usando a função seno hiperbólico \operatorname{sinh}, já que \operatorname{sinh} t=\dfrac{e^{t}-e^{-t}}{2}. Assim